Подробности Категория: Просмотров: 975

ВИНТОВОЕ ДВИЖЕНИЕ . Если движение неизменяемой системы (например, твердого тела) слагается из вращения около оси и поступательного движения вдоль этой оси, то такое движение тела называется винтовым движением; указанная ось называется винтовой осью, или осью вращения - скольжения. Если даны два произвольных положения движущегося в пространстве тела, то переход из положения I во II можно выполнить одним винтовым движением около определенно расположенной винтовой оси (теорема Шаля); при этом вращательное и поступательное движения могут выполняться или одновременно, или последовательно в любом порядке. Рассматривая все данное перемещение тела в пространстве как состоящее из бесконечно малых элементарных перемещений и применяя к каждому из них теорему Шаля, получаем следующее положение: всякое движение тела в пространстве представляет собой ряд бесконечно малых винтовых перемещений около мгновенных винтовых осей, в каждый момент меняющих свое положение и направление в пространстве.

Винтовые элементарные перемещения тела около каждой мгновенной оси являются движениями, эквивалентными бесконечно малым действительным перемещениям тела, и представляют их с точностью до бесконечно малых величии высших порядков. Законы винтового перемещения, эквивалентного какому-либо перемещению твердого тела, были установлены Моцци (Giulio Mozzi, 1768 г.). Сложение двух винтовых перемещений дает в результате также винтовое перемещение.

Рассмотрим сложное движение твердого тела, слагающееся из поступательного и вращательного движений. Соответствующий пример показан на рис. 207. Здесь относительным движением тела 1 является вращение с угловой скоростью со вокруг оси укрепленной на платформе 2, а переносным - поступательное движение платформы со скоростью v. Одновременно в двух таких движениях участвует и колесо 3, для которого относительным движением является вращение вокруг его оси, а переносным - движение той же платформы. В зависимости от значения угла а между векторами и v (для колеса этот угол равен 90°) здесь возможны три случая.

1. Скорость поступательного движения перпендикулярна оси вращения Пусть сложное движение тела слагается из вращательного движения вокруг оси с угловой скоростью со и поступательного движения со скоростью v, перпендикулярной (рис. 208).

Легко видеть, что это движение представляет собой (по отношению к плоскости П, перпендикулярной оси ) плоскопараллельное движение, подробно изученное в гл. XI. Если считать точку А полюсом, то рассматриваемое движение, как и всякое плоскопараллельное, будет действительно слагаться из поступательного со скоростью т. е. со скоростью полюса, и из вращательного вокруг оси проходящей через полюс.

Вектор v можно заменить парой угловых скоростей (см. § 69), беря . При этом расстояние АР определится из равенства откуда (учитывая, что )

Векторы дают при сложении нуль, и мы получаем, что движение тела в этом случае можно рассматривать как мгновенное вращение вокруг оси с угловой скоростью . Этот результат был раньше получен другим путем (см. § 56). Сравнивая равенства (55) и (107), видим, что точка Р для сечения S тела является мгновенным центром скоростей Здесь еще раз убеждаемся, что поворот тела вокруг осей происходит с одной и той же угловой скоростью , т. е. что вращательная часть движения не зависит от выбора полюса (см. § 52).

2. Винтовое движение (). Если сложное движение тела слагается из вращательного вокруг оси с угловой скоростью со и поступательного со скоростью v, направленной параллельно оси (рис. 209), то такое движение тела называется винтовым. Ось называют осью винта.

Когда векторы направлены в одну сторону, то при принятом нами правиле изображения о винт будет правым; если в разные стороны, - левым.

Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точкой тела, лежащей на оси винта, называется шагом h винта. Если величины и и со постоянны, то шаг винта также будет постоянным. Обозначая время одного оборота через Т, получаем в этом случае , откуда

При постоянном шаге любая точка М тела, не лежащая на оси винта, описывает винтовую линию. Скорость точки М, находящейся от оси винта на расстоянии , слагается из поступательной скорости v и перпендикулярной ей скорости, получаемой во вращательном движении, которая численно равна Следовательно,

Направлена скорость по касательной к винтовой линии. Если цилиндрическую поверхность, по которой движется точка М, разрезать вдоль образующей и развернуть, то винтовые линии обратятся в прямые, наклоненные к основанию цилиндра под углом

3. Скорость поступательного движения образует произвольный угол с осью вращения. Сложное движение, совершаемое телом в этом случае (рис. 210, а), представляет собой движение, рассмотренное в § 63 (общий случай движения свободного твердого тела).

Разложим вектор v (рис. 210, б) на составляющие: направленную вдоль со перпендикулярную Скорость можно заменить парой угловых скоростей (как на рис. 208), после чего векторы можно отбросить. Расстояние АС найдем по формуле (107).

Если тело одновременно участвует в переносном поступательном движении со скоростью и относительном вращательном с угловой скоростью , то в зависимости от их взаимного расположения целесообразно рассмотреть три отдельных случая.

1. Скорость поступательного движения перпендикулярна оси относительного вращения. В этом случае векторы и перпендикулярны (рис.53). На линии ОС , перпендикулярной плоскости в которой расположены и , имеется точка С , скорость которой равна нулю. Определяем ее расстояние от точки О .

По теореме сложения скоростей для точки С имеем

так как при вращении вокруг оси

Учитывая, что скорости и противоположны по направлению, получим

Так как , то и, следовательно, точки С и О находятся на расстоянии

Другие точки, имеющие скорости, равные нулю, располагаются на линии, проходящей через точку С , параллельно оси вращения тела с угловой скоростью . Таким образом, имеется мгновенная ось вращения, параллельная оси относительного вращения и проходящая через точку С .

При сложении поступательного переносного и вращательного относительного движений твердого тела, у которого скорость поступательного движения перпендикулярна оси относительного вращения, эквивалентное абсолютное движение является вращением вокруг мгновенной оси, параллельной оси относительного вращения с угловой скоростью, совпадающей с угловой скоростью относительного вращения.

2. Винтовое движение. Движение, при котором скорость переносного поступательного движения тела параллельна оси относительного вращения, называется в и н т о в ы м д в и ж е н и е м т в е р д о г о т е л а (рис.54). Ось вращения тела в этом случае называется в и т о в о й о с ь ю. При винтовом движении тело движется поступательно параллельно оси винтового движения и вращается вокруг этой оси. Винтовое движение не приводится к какому-либо другому одному простому эквивалентному движению.

При винтовом движении векторы и могут иметь как одинаковые, так и противоположные направления. Винтовое движение тела характеризуется п а р а м е т р о м в и н т о в о г о г о д в и ж е н и я, которым считают величину . Если и изменяются с течением времени, то и параметры винтового движения являются переменными. В общем случае , и , т.е. p есть перемещение тела вдоль оси винтового движения при повороте тела на один радиан.

Для точки М имеем

Но , , где r – расстояние точки до винтовой оси. Скорости и перпендикулярны. Следовательно,

Учитывая, что , получаем

Если тело вращается с постоянной угловой скоростью и имеет постоянную скорость поступательного движения, то такое движение тела называется п о с т о я н н ы м в и н т о в ы м движением. В этом случае точка тела при движении все время находится на поверхности кругового цилиндра с радиусом r. Траекторией точки является винтовая линия. Кроме параметра в рассматриваемом случае вводят шаг винта , т. е. расстояние, на которое переместится какая-либо точка тела при одном обороте тела вокруг оси винтового движения. Угол поворота тела при вычисляется по формуле . Для одного оборота тела . Необходимое для этого время .

За время Т точка переместится в направлении, параллельном винтовой оси, на шаг винта .

Отсюда получается зависимость шага винта от параметра винтового движения .

Уравнения движения точки М тела по винтовой линии (рис.102) в декартовых координатах выражаются в следующей форме:

В этих уравнениях величины и являются постоянными.

3. Общий случай. Пусть скорость переносного поступательного движения и угловая скорость относительного вращения образуют угол . Случай когда , и , уже рассмотрены.имеют все точки тела. Таким образом, получено винтовое движение с винтовой осью, отстоящей от первоначальной оси вращения на величину .

Параметр полученного винтового движения .

Общий случай переносного поступательного и относительного вращательного движений твердого тела оказался эквивалентным мгновенному винтовому движению.

Винтовое движение

Винтово"е движе"ние, движение твёрдого тела, слагающееся из прямолинейного поступательного движения со скоростью v и вращательного движения с угловой скоростью w вокруг оси aa 1 , параллельной направлению скорости v (см. рис. ). Когда направление оси aa 1 остаётся неизменным, тело, совершающее В. д., в механике называется винтом, а ось aa 1 - осью винта. Винт называется правым, когда v и w направлены так, как показано на рис., и левым, если направление v или w изменить на прямо противоположное. Расстояние, проходимое за один оборот любой точкой тела, лежащей на оси винта, называется шагом h винта, а величина р = v/ w - параметром винта.

Скорость v м и ускорение w м любой точки М винта, отстоящей от оси на расстоянии r , численно равны

где w - ускорение поступательного движения тела вдоль оси aa 1 , e - угловое ускорение вращения вокруг этой оси.

Если параметр р постоянен, шаг винта h = 2pv /w = 2pр также постоянен. Любая точка винта, не лежащая на его оси, описывает в этом случае винтовую линию, касательная к которой в каждой точке образует с плоскостью, перпендикулярной оси винта, угол

a = arctg h /2pr .

Любое сложное движение твёрдого тела слагается в общем случае из серии элементарных или мгновенных В. д. При этом ось В. д., называемая мгновенной винтовой осью, непрерывно изменяет своё направление в пространстве и в самом движущемся теле.

Рассмотрим сложное движение твердого тела, слагающееся из поступательного и вращательного движений. Соответствующий пример показан на рис. 78. Здесь относительным движением тела 1 является вращение с угловой скоростью вокруг оси Аа ,укреп­ленной на платформе 2, а переносным – поступательное движение платформы со скоростью . Одновременно в двух таких движениях участвует и колесо 3, для которого относительным движением яв­ляется вращение вокруг его оси, а переносным – движение той же платформы. В зависимости от значения угла α между векторами и (для колеса этот угол равен 90°) здесь возможны три случая.

1. Скорость поступательного движения перпендикулярна оси вращения ( ). Пусть сложное движение тела слагается из вращательного движения во­круг оси Аа с угловой скоростью ω и поступательного движения со скоростью , перпендикулярной (рис. 79). Очевидно, что это движение представляет собой (по отношению к плоскости П , пер­пендикулярной оси Аа )плоскопараллельное движение.

Если считать точку А полюсом, то рассматри­ваемое движение, как и всякое плоскопараллельное будет действительно слагаться из поступательного со скоростью , т. е. со скоростью полюса, и из вращательного вокруг оси Аа , проходя­щей через полюс.

Вектор , согласно разделу 6.2, можно заменить парой угловых скоростей и , принимая , а . При этом расстояние АР опре­делится из равенства , откуда .

Векторы и дают при сложении ноль и, следовательно, движение тела в этом случае можно рассматривать как мгновенное вращение вокруг оси Рр с угловой скоростью . Таким образом, поворот тела вокруг осей Аа и Рр происходит с одной и той же угло­вой скоростью , т. е. вращательная часть движения не зависит от выбора полюса.

2. Винтовое движение ( ). Если сложное движение тела слагается из вращательного вокруг оси Аа с угловой скоро­стью и поступательного со скоростью , направленной параллель­но оси Аа (рис. 80), то такое движение тела называется винтовым. Ось Аа называют осью винта. Когда векторы и направлены в одну сторону, то при принятом нами правиле изображения винт будет правым ; если в разные стороны – левым. Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точкой тела, лежащей на оси винта, называется шагом h винта. Если величины и постоянны, то шаг винта также будет постоянным. Обозначая время одного оборота через Т , получаем в этом случае и , откуда .

При постоянном шаге любая точка М тела, не лежащая на оси винта, описывает винтовую линию. Скорость точки М , находящей­ся от оси винта на расстоянии r ,слагается из поступательной ско­рости и перпендикулярной ей скорости, получаемой во враща­тельном движении, которая численно равна ωr. Следовательно .

Направлена скорость по касательной к винтовой линии. Если цилиндрическую поверхность, по которой движется точка М, разрезать вдоль образующей и развернуть, то винтовые линии обратятся в прямые, наклоненные к основанию цилиндра под углом , где .

3. Скорость поступательного движения образует произвольный угол с осью вращения. Сложное движение, совершаемое телом в этом случае (рис. 81, а), можно рассматривать, как общий случай движения свободного твердого тела.

Разложим вектор (рис. 81, б) на составляющие: , направ­ленную вдоль (), и , перпендикулярную (). Скорость можно заменить парой угловых скоростей и , после чего векторы и можно отбросить. Расстояние АС найдем по формуле .

Тогда у тела остается вращение с угловой скоростью и поступательное движение со скоростью . Следовательно, распределение скоростей точек тела в данный момент времени будет таким же, как при винтовом движении вокруг оси Сс с угловой скоростью и поступательной скоростью .

Выполнив преобразования (рис. 81, б), мы перешли от полюса А к полюсу С . Результат подтверждает, что в общем случае движения твердого тела угловая скорость при перемене полюса не изменяется (), а меняется только поступательная скорость ().

Так как при движении свободного твердого тела величины , α будут все время изменяться, то будет непрерывно меняться и положение оси Сс , которую поэтому называют мгновенной винтовой осью. Таким образом, движение свободного твердого тела можно еще рассматривать как слагающееся из серии мгновенных винтовых движений вокруг непрерывно изменяющихся винтовых осей .

Заключение

Роль и место теоретической механики в инженерном образовании определяется тем, что она является научной базой очень многих областей современной техники. Усвоение теоретической механики усложняется тем, что в этой науке существенную роль играет моделирование и математическое представление исследуемых явлений природы. Поэтому при решении инженерных задач студенты зачастую испытывают значительные трудности. Проблему формирования у студентов исследовательского подхода к поставленным задачам (из раздела «Кинематика» курса теоретической механики) позволяет решить предлагаемое учебное пособие. В пособии доступно освещены основные темы раздела «Кинематика» с приведением всех необходимых доказательств. Даны методические рекомендации к решению задач и приведены примеры их решения. Освоению и закреплению изложенного материала помогут задания для самостоятельной работы, приведенные в конце глав пособия.