Основными понятиями науки о сопротивлении материалов являются понятия реального объекта и расчетной схемы, внешних и внутренних силовых факторов, геометрических характеристик, напряжений (полное, нормальное, касательное), деформаций и перемещений (линейные, угловые). Сюда относятся также основные физические законы, общие гипотезы и методы, при помощи которых устанавливаются зависимости между этими понятиями.

При выборе расчетной схемы в геометрию реального объекта вводятся упрощения.

Основным упрощающим приемом в сопротивлении материалов является приведение геометрической формы тела к схеме стержня, оболочки, пластины, массива.

Под стержнем понимается тело, одно из измерений которого (длина) значительно больше двух других. Геометрия стержня может быть образована путем перемещения плоской фигуры вдоль некоторой кривой. Эта кривая называется осью стержня, а плоская фигура, имеющая свой центр тяжести на оси и нормальная к ней, называется поперечным сечением. Для стержня обозначим продольную ось – z , в поперечном сечении главные оси – x и y .

Оболочка – такое геометрическое тело, у которого одно из измерений (толщина) значительно меньше других (радиусов кривизны и габаритных размеров). К оболочкам могут быть отнесены стенки баков, купола и др.

Как и всякая наука, сопротивление материалов идет от простого к сложному, решая сначала элементарные задачи растяжения-сжатия, сдвига, изгиба и кручения, а затем используя эти решения для более сложных задач.

Внешние силы, действующие на реальный объект, чаще всего известны. Обычно необходимо определить внутренние силы (результат взаимодействия между отдельными частями данного тела), которые неизвестны по величине и направлению, но знание которых необходимо для прочностных и деформационных расчетов. Определение внутренних сил осуществляется с помощью так называемого метода сечений , сущность которого заключается в следующем:

4. Внутренние силы находятся в равновесии с внешними силами, они могут быть определены из уравнений равновесия статики:

(1.1)

Любой внутренний силовой фактор в сечении равен алгебраической сумме соответствующих внешних сил, действующих с одной стороны от сечения.

Внутренний силовой фактор в сечении численно равен интегральной сумме соответствующих элементарных внутренних сил или моментов по всей площади сечения:

(1.1)

Классификация основных видов нагружения связана с внутренним силовым фактором, возникающим в сечении. Так, если в поперечных сечениях возникает только продольная сила N , а другие внутренние силовые факторы обращаются в нуль, то на этом участке имеет место растяжение или сжатие, в зависимости от направления силы N . Нагружение, когда в поперечном сечении возникает только поперечная сила Q , называют сдвигом.

Если в поперечном сечении возникает только крутящий момент М к (М z ), то стержень работает на кручение. В случае, когда от внешних сил, приложенных к стержню, возникает только изгибающий момент М х (или М у ), то такой вид нагружения называют чистым изгибом. Если в поперечном сечении наряду с изгибающим моментом (например, М х ) возникает поперечная сила Q y , то такой вид нагружения называют плоским поперечным изгибом (в плоскости yz ). Вид нагружения, когда в поперечном сечении стержня возникают только изгибающие моменты М х и М у , называют косым изгибом (плоским или пространственным). При действии в поперечном сечении нормальной силы N и изгибающих моментов М х и М у возникает нагружение, называемое сложным изгибом с растяжением (сжатием) или внецентренным растяжением (сжатием). При действии в сечении изгибающего момента и крутящего момента возникает изгиб с кручением.

Общим случаем нагружения называют случай, когда в поперечном сечении возникают все шесть внутренних силовых факторов.

К особым видам нагружения следует отнести смятие, когда деформация носит местный характер, не распространяясь на все тело, и продольный изгиб (частный случай общего явления потери устойчивости).

Этапы метода сечения

Метод сечений состоит из четырех последовательных этапов: разрезать, отбросить, заменить, уравновесить.

Разрежем стержень, находящийся в равновесии под действием некоторой системы сил (рис. 1.3, а) на две части плоскостью, перпендикулярной к его оси z.

Отбросим одну из частей стержня и рассмотрим оставленную часть.

Поскольку мы как бы разрезали бесчисленное множество пружинок, соединявших бесконечно близкие частицы тела, разделенного теперь на две части, в каждой точке поперечного сечения стержня необходимо приложить силы упругости, которые при деформации тела возникли между этими частицами. Иными словами,заменим действие отброшенной части внутренними силами (рис. 1.3, б).

Деформации рассматриваемого тела (элементов конструкции) возникают от приложения внешней силы. При этом изменяются расстояния между частицами тела, что в свою очередь приводит к изменению сил взаимного притяжения между ними. Отсюда, как следствие, возникают внутренние усилия. При этом внутренние усилия определяются универсальным методом сечений (или метод разреза).

Известно, что различают силы внешние и силы внутренние. Внешние усилия (нагрузки) – это количественная мера взаимодействия двух различных тел. К ним относятся и реакции в связях. Внутренние усилия – это количественная мера взаимодействия двух частей одного тела, расположенных по разные стороны сечения и вызванные действием внешних усилий. Внутренние усилия возникают непосредственно в деформируемом теле.

На рис.1 приведена расчетная схема бруса с произвольной комбинацией внешней нагрузки образующую равновесную систему сил:

Сверху вниз: упругое тело, левая отсеченная часть, правая отсеченная часть
Рис.1. Метод сечений.

При этом, реакции связей определяются из известных уравнений равновесия статики твердого тела:

где х 0 , у 0 , z 0 - базовая система координат осей.

Мысленное разрезание бруса на две части произвольным сечением А (рис.1 a), приводит к условиям равновесия каждой из двух отсеченных частей (рис.1 б,в). Здесь {S’ } и {S" }- внутренние усилия, возникающих соответственно в левой и правой отсеченных частях вследствие действия внешних усилий.

При составлении мысленно отсеченных частей, условие равновесия тела обеспечивается соотношением:

Так как исходная система внешних сил (1) эквивалентна нулю, получаем:

{S ’ } = – {S ” } (3)

Это условие соответствует четвертой аксиоме статики о равенстве сил действия и противодействия.

Используя общую методологию теоремыПуансо о приведении произвольной системы сил к заданному центру и выбрав за полюс приведения центр масс, сечения А " , точку С " , систему внутренних усилий для левой части {S ’ } сводим к главному вектору и главному моменту внутренних усилий. Аналогично делается для правой отсеченной части, где положение центра масс сечения А”; определяется, соответственно, точкой С " (рис.1 б,в).

Здесь в соответствие с четвертой аксиомой статики по-прежнему имеют место следующие соотношения:

Таким образом главный вектор и главный момент системы внутренних усилий, возникающие в левой, условно отсеченной части бруса, равны по величине и противоположны по направлению главному вектору и главному моменту системы внутренних усилий, возникающих в правой условно отсеченной части.

График (эпюра) распределения численных значений главного вектора и главного момента вдоль продольной оси бруса и предопределяют, прежде всего, конкретные вопросы прочности, жесткости и надежности конструкций.

Определим механизм формирования компонент внутренних усилий, которые характеризуют простые виды сопротивлений: растяжение-сжатие, сдвиг, кручение и изгиб.

В центрах масс исследуемых сечений С" или С " зададимся соответственно левой (с", х", у", z") или правой (с", х", у", z”) системами координатных осей (рис.1 б, в), которые в отличие от базовой системы координат x, у, z будем называть "следящими". Термин обусловлен их функциональным назначением. А именно: отслеживание изменения положения сечения А (рис.1 а) при условном смещении его вдоль продольной оси бруса, например при: 0 х’ 1 а, а x’ 2 b и т.д., где а и b - линейные размеры границ исследуемых участков бруса.

Зададимся положительными направлениями проекций главного вектора или и главного момента или на координатные оси следящей системы (рис.1 б, в):

При этом положительные направления проекций главного вектора и главного момента внутренних усилий на оси следящей системы координат соответствуют правилам статики в теоретической механике: для силы - вдоль положительного направления оси, для момента - против вращения часовой стрелки при наблюдении со стороны конца оси. Они классифицируются следующим образом:

N x - нормальная сила, признак центрального растяжения или сжатия;

М x - внутренний крутящий момент, возникает при кручении;

Q z , Q у - поперечные или перерезывающие силы – признак сдвиговых деформаций,

М у, М z - внутренние изгибающие моменты, соответствуют изгибу.

Соединение левой и правой мысленно отсеченных частей бруса приводит к известному (3) принципу равенства по модулю и противоположной направленности всех одноименных компонент внутренних усилий, а условие равновесии бруса определяется в виде:

С учетом эквивалентности нулю исходной системы сил (1) имеет место:

Как естественное следствие из соотношений 3,4,5 полученное условие является необходимым для того, чтобы одноименные компоненты внутренних усилий попарно образовали подсистемы сил эквивалентные нулю:

Общее число внутренних усилий (шесть) в статически определимых задачах совпадает с количеством уравнений равновесия для пространственной системы сил и связано с числом возможных взаимных перемещений одной условно отсеченной части тела по отношению к другой. z (P i ) = M z + M z (P i ) + … + M z (P k ) = 0 > M z

Здесь для простоты обозначений системы координат с" х" у" z" и с" х" у" т" заменены единой оxуz .

Этапы определения внутренних сил: 1. Рассекаем изучаемый стержень мысленно плоскостью на две части (рис. В.5). Каждая из частей предполагается находящейся в равновесии под действием внешних сил, приложенных к этой части, и внутренних сил, возникающих в сечении и представляющих собой силы взаимодействия между оставшейся и отброшенной частями. Равнодействующая внутренних сил в сечении называется усилием, а величина внутренней силы, приходящейся на единицу площади сечения, называется напряжением в данной точке сечения. Напряжение может быть выражено через усилие. Рис. В.5 2. Отбросим одну из частей стержня, например левую, и исследуем усилия в сечении оставшейся (правой) части (рис. В.5). Обычно отбрасывают ту часть, на которую действует большее количество сил, что упрощает расчет. 3. Заменяем действие отброшенной части тела на оставшуюся внутренними силами. Приведя внутренние силы, действующие в данном сечении, к центру тяжести сечения, получим главный вектор RВН и главный момент МВН внутренних сил упругости. Раскладывая главный вектор и главный момент на составляющие по координатным осям, получим шесть внутренних силовых факторов (усилий) NX , Qу, QZ , MX , Mу, MZ (рис. В.6). Рис. В.6 11 Составляющими главного вектора R являются: NX – продольная сила; Qy , QZ – поперечные силы; Составляющими главного момента М являются: МХ – крутящий момент, в дальнейшем обозначающийся МК; Му, МZ – изгибающие моменты. Оси У, Z рассматриваются как главные центральные оси поперечного сечения. Заметим, что в том же сечении левой части будут те же усилия, но имеющие противоположное направление. 4. Уравновешиваем оставшуюся правую часть тела (рис. В.6). Для каждой части стержня должны быть выполнены шесть условий равновесия: Из рассмотрения этих уравнений находим внутренние усилия (NX , Qy , QZ , МХ, Му, МZ). Каждому из этих силовых факторов соответствует свой вид деформации. Продольная сила (N) вызывает растяжение (сжатие), поперечная сила Q – сдвиг, крутящий момент (МК) – кручение, изгибающие моменты (МZ , Му) – изгиб. Итак, под действием внешних сил в теле возникают внутренние силы, сопровождающие деформацию тел и связанные с ними нормальные () и касательные () напряжения. Этим двум видам напряжений соответствуют два вида разрушения элементов конструкций путем отрыва или взаимного сжатия частиц в точке тела и путем сдвига частиц. Зная величины напряжений, которые возникают в элементах конструкции, и те напряжения, которые выдерживает материал (предел прочности в), можно судить о прочности элементов и в целом конструкции. Для обеспечения надежной работы конструкции необходимо, чтобы фактические напряжения, возникающие в элементах конструкции, не превосходили допускаемых нормальных напряжений и касательных напряжений . Допускаемые напряжения составляют некоторую часть от предельных напряжений и гарантируют безопасную работу конструкции и ее элементов на весь период эксплуатации. Для пластичных материалов за опасное напряжение принимается предел текучести Т, а для хрупких предел прочности – В. Допускаемые нормальные напряжения и касательные напряжения зависят от материала, из которого изготовляют элементы конструкции, степени ответственности и назначения конструкции, технологических, конструктивных и других факторов. В инженерной практике используется три вида расчета на прочность: 1) по допускаемым напряжениям; 2) разрушающим нагрузкам; 3) предельным состояниям.

Взаимодействие между частями конструкции (тела) характе­ризуется внутренними силами, которые возникают внутри нее под действием внешних нагрузок.

Определяются внутренние силы с помощью метода сечений . Суть метода сечения в следующем: если при действии внешних сил тело находится в состоянии равновесия, то любая отсеченная часть тела вместе с приходящимися на нее внешними и внутренними усилиями также будет находится в равновесии, следовательно, к ней применимы уравнения равновесия. То есть, не влияют на условия равновесия тела, так как являются самоуравновешенными.

Рассмотрим тело, к которому приложена некоторая система внешних сил F 1 , F 2 , …, F n , удовлетворяющая условиям равновесия, т.е. при действии указанных внешних сил тело находится в состоянии равновесия. Если необходимо, то определяются опорные реакции из уравнений равновесия (берем объект, отбрасываем связи, заменяем отброшенные связи реакциями, составляем уравнения равновесия и ). Реакции можно не находить, если они не входят в число внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемых сечений.

Мысленно рассекаем тело произвольным сечением, отбрасываем левую часть тела и рассматриваем равновесие оставшейся части.

Если бы не было внутренних сил, оставшаяся неуравновешенная часть тела начала бы двигаться под действием внешних сил. Для сохранения равновесия, действие отброшенной части тела заменяем внутренними силами приложенными к каждой частице тела.

Из теоретической механики известно, что любая система сил может быть приведена в любую точку пространства в виде главного вектора сил \vec{R} и главного момента сил \vec{M} (теорема Пуансо). Модуль и направление этих векторов неизвестны.

Удобнее всего определять эти вектора через их проекции на оси x,y,z. $$\vec{R} = \vec{N} + \vec{Q_x}+\vec{Q_y}, \ \ \vec{M} = \vec{M_k} + \vec{M_x}+\vec{M_y} $$ или

Проекции векторов \vec{R} и \vec{M} носят следующие названия:

• N - продольное усилие,
• Q x и Q y - поперечные (перерезывающие) силы соответственно вдоль осей x и y,
• M k - крутящий момент (обозначается иногда буквой T),
• M x , M y - изгибающие моменты соответственно вокруг осей x и y

В общем случае для определения внутренних усилий имеем 6 неизвестных, которые можно определить из 6 уравнений равновесия.

где \sum F_i, \sum M(F)_i – внешние силы и моменты, действующие на оставленную часть тела.

Решив систему из 6-и уравнений с 6-ю неизвестными, определяем все внутренние усилия. В сечении могут присутствовать не все шесть внутренних
силовых факторов одновременно – это зависит от вида внешней нагрузки и способа ее приложения.

Пример: для стержня

Общее правило определения любого внутреннего усилия:

Усилия Q x , Q y , N равняются алгебраической сумме проекций всех сил, расположенных по одну сторону от выбранного сечения, соответственно на оси x, y или z .

Моменты M x , M y , M k равняются алгебраической сумме моментов всех сил, расположенных по одну сторону от выбранного сечения, соответственно относительно осей x, y или z, проходящих через центр тяжести выбранного сечения.

При использовании приведенного правила необходимо принять правило знаков для внутренних усилий.

Правило знаков

• Нормальная растягивающая сила (направлена от сечения) считается положительной, а сжимающая – отрицательной.
• Крутящий момент в сечении, направленный против часовой стрелки, считается положительным, по часовой стрелке – отрицательным.
• Положительному изгибающему моменту соответствуют сжатые волокна сверху, отрицательному – снизу.
• Знак поперечной силы удобно определять по тому, в каком направлении пытается повернуть отсеченную часть балки результирующая поперечной нагрузки относительно рассматриваемого сечения: если по часовой стрелке - сила считается положительной, против часовой стрелки - отрицательной.

1 График изменения внутреннего усилия по заданной оси тела называется эпюрой.

Силы, как известно, бывают внешние и внутренние . Если взять в руки обычную ученическую линейку и изогнуть ее, то делаем мы это, прикладывая внешние силы – руки. Если усилие рук убрать, то линейка вернется в исходное положение самостоятельно, под воздействием своих внутренних сил (это силы взаимодействия между частицами элемента от воздействия внешних сил). Чем больше внешние силы, тем больше и внутренние, но внутренние не могут постоянно увеличиваться, они растут лишь до определенного предела, и когда внешние силы превысят внутренние, произойдет разрушение . Поэтому крайне важно знать о внутренних силах в материале с точки зрения его прочности. Внутренние силы определяются с помощью метода сечений . Рассмотрим его подробно. Допустим, стержень нагружен некоторыми силами (верхний левый рис.). Разрезаем стержень сечением 1–1 на две части, и будем рассматривать любую из них – ту, которая покажется нам проще. К примеру, отбрасываем правую часть и рассмотрим равновесие левой части (верхний правый рис.).

Действие отброшенной правой части на оставшуюся левую заменяем внутренними силами, их бесконечно много, так как это силы взаимодействия между частицами тела. Из теоретической механики известно, что любую систему сил можно заменить эквивалентной ей системой, состоящей из главного вектора и главного момента. Поэтому все внутренние силы приведем к главному вектору R и главному моменту М (рис.1.1,б). Поскольку наше пространство трехмерно, то главный вектор R можно разложить по осям координат и получить три силы — Q x , Q y , N z (рис.1.1,в). По отношению к продольной оси стержня силы Q x , Q y называются поперечными или перерезывающими силами (расположены поперек оси), N z получил название продольной силы (расположена вдоль оси).

Главный момент М при разложении по осям координат также даст три момента(рис.1.1,г) в соответствии с той же продольной осью — два изгибающих момента M x и M y и крутящий момент Т (может обозначаться как М к или М z).

Таким образом, в общем случае нагружения существует шесть компонентов внутренних сил , которые называются внутренними силовыми факторами или внутренними силами. Для их определения в случае пространственной системы сил составляются шесть уравнений равновесия , а в случае плоской – три.

Чтобы запомнить последовательность метода сечений, следует использовать мнемотехнический прием – запомнить слово РОЗУ из первых букв действий: Р азрезаем (сечением), О тбрасываем (одну из частей), З аменяем (действие отброшенной части внутренними силами), У равновешиваем (т.е. с помощью уравнений равновесия определяем значение внутренних сил).

В практике возникают следующие виды деформаций. Если при случае нагружения в элементе под действием сил возникает один внутренний силовой фактор, то такая деформация называется простой или основной. Простые деформации - это растяжение-сжатие (возникает продольная сила), сдвиг (поперечная сила), изгиб (изгибающий момент), кручение (крутящий момент). Если одновременно элемент испытывает несколько деформаций (кручение с изгибом, изгиб с растяжением и др.), то такая деформация называется сложной .