Коэффициент корреляции равен 1 то корреляция. Коэффициенты корреляции

Коэффициент корреляции (или линейный коэффициент корреляции) обозначается как «r» (в редких случаях как «ρ») и характеризует линейную корреляцию (то есть взаимосвязь, которая задается некоторым значением и направлением) двух или более переменных. Значение коэффициента лежит между -1 и +1, то есть корреляция бывает как положительной, так и отрицательной. Если коэффициент корреляции равен -1, имеет место идеальная отрицательная корреляция; если коэффициент корреляции равен +1, имеет место идеальная положительная корреляция. В остальных случаях между двумя переменными наблюдается положительная корреляция, отрицательная корреляция или отсутствие корреляции. Коэффициент корреляции можно вычислить вручную, с помощью бесплатных онлайн-калькуляторов или с помощью хорошего графического калькулятора.

Шаги

Вычисление коэффициента корреляции вручную

    Соберите данные. Перед тем как приступить к вычислению коэффициента корреляции, изучите данные пары чисел. Лучше записать их в таблицу, которую можно расположить вертикально или горизонтально. Каждую строку или столбец обозначьте как «х» и «у».

    • Например, даны четыре пары значений (чисел) переменных «х» и «у». Можно создать следующую таблицу:
      • x || y
      • 1 || 1
      • 2 || 3
      • 4 || 5
      • 5 || 7

  1. Вычислите среднее арифметическое «х». Для этого сложите все значения «х», а затем полученный результат разделите на количество значений.

    Найдите среднее арифметическое «у». Для этого выполните аналогичные действия, то есть сложите все значения «у», а затем сумму разделите на количество значений.

    Вычислите стандартное отклонение «х». Вычислив средние значения «х» и «у», найдите стандартные отклонения этих переменных. Стандартное отклонение вычисляется по следующей формуле:

    Вычислите стандартное отклонение «у». Выполните действия, которые описаны в предыдущем шаге. Воспользуйтесь той же формулой, но подставьте в нее значения «у».

    Запишите основную формулу для вычисления коэффициента корреляции. В эту формулу входят средние значения, стандартные отклонения и количество (n) пар чисел обеих переменных. Коэффициент корреляции обозначается как «r» (в редких случаях как «ρ»). В этой статье используется формула для вычисления коэффициента корреляции Пирсона.

    Вы вычислили средние значения и стандартные отклонения обеих переменных, поэтому можно воспользоваться формулой для вычисления коэффициента корреляции. Напомним, что «n» – это количество пар значений обеих переменных. Значение других величин были вычислены ранее.

    • В нашем примере вычисления запишутся так:
    • ρ = (1 n − 1) Σ (x − μ x σ x) ∗ (y − μ y σ y) {\displaystyle \rho =\left({\frac {1}{n-1}}\right)\Sigma \left({\frac {x-\mu _{x}}{\sigma _{x}}}\right)*\left({\frac {y-\mu _{y}}{\sigma _{y}}}\right)}
    • ρ = (1 3) ∗ {\displaystyle \rho =\left({\frac {1}{3}}\right)*} [ (1 − 3 1 , 83) ∗ (1 − 4 2 , 58) + (2 − 3 1 , 83) ∗ (3 − 4 2 , 58) {\displaystyle \left({\frac {1-3}{1,83}}\right)*\left({\frac {1-4}{2,58}}\right)+\left({\frac {2-3}{1,83}}\right)*\left({\frac {3-4}{2,58}}\right)}
      + (4 − 3 1 , 83) ∗ (5 − 4 2 , 58) + (5 − 3 1 , 83) ∗ (7 − 4 2 , 58) {\displaystyle +\left({\frac {4-3}{1,83}}\right)*\left({\frac {5-4}{2,58}}\right)+\left({\frac {5-3}{1,83}}\right)*\left({\frac {7-4}{2,58}}\right)} ]
    • ρ = (1 3) ∗ (6 + 1 + 1 + 6 4 , 721) {\displaystyle \rho =\left({\frac {1}{3}}\right)*\left({\frac {6+1+1+6}{4,721}}\right)}
    • ρ = (1 3) ∗ 2 , 965 {\displaystyle \rho =\left({\frac {1}{3}}\right)*2,965}
    • ρ = (2 , 965 3) {\displaystyle \rho =\left({\frac {2,965}{3}}\right)}
    • ρ = 0 , 988 {\displaystyle \rho =0,988}

  2. Проанализируйте полученный результат. В нашем примере коэффициент корреляции равен 0,988. Это значение некоторым образом характеризует данный набор пар чисел. Обратите внимание на знак и величину значения.

    • Так как значение коэффициента корреляции положительно, между переменными «х» и «у» имеет место положительная корреляция. То есть при увеличении значения «х», значение «у» тоже увеличивается.
    • Так как значение коэффициента корреляции очень близко к +1, значения переменных «х» и «у» сильно взаимосвязаны. Если нанести точки на координатную плоскость, они расположатся близко к некоторой прямой.

    Использование онлайн-калькуляторов для вычисления коэффициента корреляции

    1. В интернете найдите калькулятор для вычисления коэффициента корреляции. Этот коэффициент довольно часто вычисляется в статистике. Если пар чисел много, вычислить коэффициент корреляции вручную практически невозможно. Поэтому существуют онлайн-калькуляторы для вычисления коэффициента корреляции. В поисковике введите «коэффициент корреляции калькулятор» (без кавычек).

      Введите данные. Ознакомьтесь с инструкциями на сайте, чтобы правильно ввести данные (пары чисел). Крайне важно вводить соответствующие пары чисел; в противном случае вы получите неверный результат. Помните, что на разных веб-сайтах различные форматы ввода данных.

      • Например, на сайте http://ncalculators.com/statistics/correlation-coefficient-calculator.htm значения переменных «х» и «у» вводятся в двух горизонтальных строках. Значения разделяются запятыми. То есть в нашем примере значения «х» вводятся так: 1,2,4,5, а значения «у» так: 1,3,5,7.
      • На другом сайте, http://www.alcula.com/calculators/statistics/correlation-coefficient/ , данные вводятся по вертикали; в этом случае не перепутайте соответствующие пары чисел.

    2. Вычислите коэффициент корреляции. Введя данные, просто нажмите на кнопку «Calculate», «Вычислить» или аналогичную, чтобы получить результат.

    Использование графического калькулятора

    1. Введите данные. Возьмите графический калькулятор, перейдите в режим статистических вычислений и выберите команду «Edit» (Редактировать).

      • На разных калькуляторах нужно нажимать различные клавиши. В этой статье рассматривается калькулятор Texas Instruments TI-86.
      • Чтобы перейти в режим статистических вычислений, нажмите – Stat (над клавишей «+»). Затем нажмите F2 – Edit (Редактировать).

    2. Удалите предыдущие сохраненные данные. В большинстве калькуляторов введенные статистические данные хранятся до тех пор, пока вы не сотрете их. Чтобы не спутать старые данные с новыми, сначала удалите любую сохраненную информацию.

      • С помощью клавиш со стрелками переместите курсор и выделите заголовок «xStat». Затем нажмите Clear (Очистить) и Enter (Ввести), чтобы удалить все значения, введенные в столбец xStat.
      • С помощью клавиш со стрелками выделите заголовок «yStat». Затем нажмите Clear (Очистить) и Enter (Ввести), чтобы удалить все значения, введенные в столбец уStat.

    3. Введите исходные данные. С помощью клавиш со стрелками переместите курсор в первую ячейку под заголовком «xStat». Введите первое значение и нажмите Enter. В нижней части экрана отобразится «xStat (1) = __», где вместо пробела будет стоять введенное значение. После того как вы нажмете Enter, введенное значение появится в таблице, а курсор переместится на следующую строку; при этом в нижней части экрана отобразится «xStat (2) = __».

      • Введите все значения переменной «х».
      • Введя все значения переменной «х», с помощью клавиш со стрелками перейдите в столбец yStat и введите значения переменной «у».
      • После ввода всех пар чисел нажмите Exit (Выйти), чтобы очистить экран и выйти из режима статистических вычислений.

Корреляция — степень связи между 2-мя или несколькими независимыми явлениями.

Корреляция бывает положительной и отрицательной.

Положительная корреляция (прямая) возникает при одновременном изменении 2-х переменных величин в одинаковых направлениях (в положительном или отрицательном). Например, взаимосвязь между количеством пользователей, приходящих на сайт из поисковой выдачи и нагрузкой на сервер: чем больше пользователей, тем больше нагрузка.

Корреляция отрицательна (обратная) , если изменение одной величины приводит противоположному изменению другой. Например, с увеличением налоговой нагрузки на компании уменьшается их прибыль. Чем больше налогов, тем меньше денег на развитие.

Эффективность корреляции как статистического инструмента заключается в возможности выражения связи между двумя переменными при помощи коэффициента корреляции.

Коэффициент корреляции (КК) находится в диапазоне чисел от -1 до 1.

При значении КК равным 1, следует понимать, что при каждом изменении 1-й переменной происходит эквивалентное изменение 2-й переменной в том же направлении.


Если значение КК равно -1, то при каждом изменении происходит эквивалентное изменение второй переменной в противоположном направлении.


Чем ближе корреляция к -1 или 1, тем сильнее связь между переменными. При нулевом значении (или близким к 0) значимая связь между 2-мя переменными отсутствует или очень минимальна.

Данный метод обработки статистической информации популярен в экономических, технических, социальных и других науках в виду простоты подсчета КК, простотой интерпретации результатов и отсутствия необходимости владения математикой на высоком уровне.

Корреляционная зависимость отражает только взаимосвязь между переменными и не говорит о причинно-следственных связях: положительная или отрицательная корреляция между 2-мя переменными не обязательно означает, что изменение одной переменной вызывает изменение другой.

Например, есть положительная корреляция между увеличением зарплаты менеджеров по продажам и качеством работы с клиентами (повышения качества обслуживания, работа с возражениями, знание положительных качеств продукта в сравнении с конкурентами) при соответствующей мотивации персонала. Увеличившийся объем продаж, а следовательно и зарплата менеджеров, вовсе не означает что менеджеры улучшили качество работы с клиентами. Вполне вероятно, что случайно поступили крупные заказы и были отгружены или отдел маркетинга увеличил рекламный бюджет или произошло еще что-то.

Возможно существует некая третья переменная, влияющая на причину наличия или отсутствия корреляции.

Коэффициент корреляции не рассчитывается:

  • когда соотношение между двумя переменными не линейное, например, квадратичное;
  • в данных имеется больше 1-го наблюдения по каждому случаю;
  • имеются аномальные наблюдения (выбросы, «отщепенцы»);
  • данные содержат ярко выраженные подгруппы наблюдений.

Регрессионный анализ позволяет оценить, как одна переменная зависит от другой и каков разброс значений зависимой переменной вокруг прямой, определяющей зависимость. Эти оценки и соответствующие доверительные интервалы позволяют предсказать значение зависимой переменной и определить точность этого предсказания.

Результаты регрессионного анализа можно представить только в достаточно сложной цифровой или графической форме. Однако нас часто интересует не предсказание значения одной переменной по значению другой, а просто характеристика тесноты (силы) связи между ними, при этом выраженная одним числом.

Эта характеристика называется коэффициентом корреляции, обычно ее обозначают буквой г. Коэффициент корреляции мо-

жет принимать значения от -1 до +1. Знак коэффициента корреляции показывает направление связи (прямая или обратная), а абсолютная величина - тесноту связи. Коэффициент, равный -1, определяет столь же жесткую связь, что и равный 1. В отсутствие связи коэффициент корреляции равен нулю.

На рис. 8.10 приведены примеры зависимостей и соответствующие им значения г. Мы рассмотрим два коэффициента корреляции.

Коэффициент корреляции Пирсона предназначен для описания линейной связи количественных признаков; как и регресси
онный анализ, он требует нормальности распределения. Когда говорят просто о «коэффициенте корреляции», почти всегда имеют в виду коэффициент корреляции Пирсона, именно так мы и будем поступать.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена можно использовать, когда связь нелинейна-и не только для количественных, но и для порядковых признаков. Это непараметрический метод, он не требует какого-либо определенного типа распределения.

О количественных, качественных и порядковых признаках мы уже говорили в гл. 5. Количественные признаки - это обычные числовые данные, такие, как рост, вес, температура. Значения количественного признака можно сравнить между собой и сказать, какое из них больше, на сколько и во сколько раз. Например, если один марсианин весит 15 г, а другой 10, то первый тяжелее второго и в полтора раза и на 5 г. Значения порядкового признака тоже можно сравнить, сказав, какое из них больше, но нельзя сказать, ни на сколько, ни во сколько раз. В медицине порядковые признаки встречаются довольно часто. Например, результаты исследования влагалищного мазка по Папаниколау оценивают по такой шкале: 1) норма, 2) легкая дисплазия, 3) умеренная дисплазия, 4) тяжелая дисплазия, 5) рак in situ. И количественные, и порядковые признаки можно расположить по порядку - на этом общем свойстве основана большая группа непараметрических критериев, к которым относится и коэффициент ранговой корреляции Спирмена. С другими непараметрическими критериями мы познакомимся в гл. 10.

Коэффициент корреляции Пирсона

И все же, почему для описания тесноты связи нельзя воспользоваться регрессионным анализом? В качестве меры тесноты связи можно было бы использовать остаточное стандартное отклонение. Однако если поменять местами зависимую и независимую переменные, то остаточное стандартное отклонение, как и другие показатели регрессионного анализа, будет иным.

Взглянем на рис. 8.11. По известной нам выборке из 10 марсиан построены две линии регрессии. В одном случае вес - зависимая переменная, во втором - независимая. Линии регрессии заметно разли-



20

Если поменять местами х и у, уравнение регрессии получится другим, а коэф- ■ корреляции останется прежним.

чаются. Получается, что связь роста с весом одна, а веса с ростом - другая. Асимметричность регрессионного анализа - вот что мешает непосредственно использовать его для характеристики силы связи. Коэффициент корреляции, хотя его идея вытекает из регрессионного анализа, свободен от этого недостатка. Приводим формулу.

r Y(X - X)(Y - Y)

&((- X) S(y - Y)2"

где X и Y - средние значения переменных X и Y. Выражение для r «симметрично» -поменяв местами Xи Y, мы получим ту же величину. Коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1. Чем теснее связь, тем больше абсолютная величина коэффициента корреляции. Знак показывает направление связи. При r > 0 говорят о прямой корреляции (с увеличением одной переменной другая также возрастает), при r Возьмем пример с 10 марсианами, который мы уже рассматривали с точки зрения регрессионного анализа. Вычислим коэффициент корреляции. Исходные данные и промежуточные результаты вычислений приведены в табл. 8.3. Объем выборки n = 10, средний рост

X = £ X/n = 369/10 = 36,9 и вес Y = £ Y/n = 103,8/10 = 10,38.

Находим Щ- X)(Y- Y) = 99,9, Щ- X)2 = 224,8, £(Y - Y)2 = 51,9.

Подставим полученные значения в формулу для коэффициента корреляции:

224,8 х 51,9 ’ "

Величина r близка к 1, что говорит о тесной связи роста и веса. Чтобы лучше представить себе, какой коэффициент корреляции следует считать большим, а какой незначительным, взгляни-

Таблица 8.3. Вычисление коэффициента корреляции
X Y X -X Y-Y (X -X)(Y-Y) (X -X)2 (Y-Y)2
31 7,8 -5,9 -2,6 15,3 34,8 6,8
32 8,3 -4,9 -2,1 10,3 24,0 4,4
33 7,6 -3,9 -2,8 10,9 15,2 7,8
34 9,1 -2,9 -1,3 3,8 8,4 1,7
35 9,6 -1,9 -0,8 1,5 3,6 0,6
35 9,8 -1,9 -0,6 1,1 3,6 0,4
40 11,8 3,1 1,4 4,3 9,6 2,0
41 12,1 4,1 1,7 7,0 16,8 2,9
42 14,7 5,1 4,3 22,0 26,0 18,5
46 13,0 9,1 2,6 23,7 82,8 6,8
369 103,8 0,0 0,2 99,9 224,8 51,9


те на табл. 8.4 - в ней приведены коэффициенты корреляции для примеров, которые мы разбирали ранее.

Связь регрессии и корреляции

Все примеры коэффициентов корреляции (табл. 8.4) мы первоначально использовали для построения линий регрессии. Действительно, между коэффициентом корреляции и параметрами регрессионного анализа существует тесная связь, которую мы сейчас продемонстрируем. Разные способы представления коэффициента корреляции, которые мы при этом получим, позволят лучше понять смысл этого показателя.

Вспомним, что уравнение регрессии строится так, чтобы минимизировать сумму квадратов отклонений от линии регрессии.


Обозначим эту минимальную сумму квадратов S (эту величину называют остаточной суммой квадратов). Сумму квадратов отклонений значений зависимой переменной Y от ее среднего Y обозначим S^. Тогда:

Величина г2 называется коэффициентом детерминации - это просто квадрат коэффициента корреляции. Коэффициент детерминации показывает силу связи, но не ее направленность.

Из приведенной формулы видно, что если значения зависимой переменной лежат на прямой регрессии, то S = 0, и тем самым r = +1 или r = -1, то есть существует линейная связь зависимой и независимой переменной. По любому значению независимой переменной можно совершенно точно предсказать значение зависимой переменной. Напротив, если переменные вообще не связаны между собой, то Soci = SofSisi Тогда r = 0.

Видно также, что коэффициент детерминации равен той доле общей дисперсии S^, которая обусловлена или, как говорят, объясняется линейной регрессией.

Остаточная сумма квадратов S связана с остаточной дисперсией s2y\x соотношением Socj = (п - 2) s^, а общая сумма квадратов S^ с дисперсией s2 соотношением S^ = (п - 1)s2 . В таком случае

r2 = 1 _ n _ 2 sy\x п _1 sy

Эта формула позволяет судить о зависимости коэффициента корреляции от доли остаточной дисперсии в полной дисперсии

six/s2y Чем эта доля меньше, тем больше (по абсолютной величине) коэффициент корреляции, и наоборот.

Мы убедились, что коэффициент корреляции отражает тесноту линейной связи переменных. Однако если речь идет о предсказании значения одной переменной по значению другой, на
коэффициент корреляции не следует слишком полагаться. Например, данным на рис. 8.7 соответствует весьма высокий коэффициент корреляции (г = 0,92), однако ширина доверительной области значений показывает, что неопределенность предсказания довольно значительна. Поэтому даже при большом коэффициенте корреляции обязательно вычислите доверительную область значений.


И под конец приведем соотношение коэффициента корреляции и коэффициента наклона прямой регрессии b:

где b - коэффициент наклона прямой регрессии, sx и sY - стандартные отклонения переменных.

Если не брать во внимание случай sx = 0, то коэффициент корреляции равен нулю тогда и только тогда, когда b = 0. Этим фактом мы сейчас и воспользуемся для оценки статистической значимости корреляции.

Статистическая значимость корреляции

Поскольку из b = 0 следует г = 0, гипотеза об отсутствии корреляции равнозначна гипотезе о нулевом наклоне прямой регрессии. Поэтому для оценки статистической значимости корреляции можно воспользоваться уже известной нам формулой для оценки статистической значимости отличия b от нуля:

Здесь число степеней свободы v = n - 2. Однако если коэффициент корреляции уже вычислен, удобнее воспользоваться формулой:

Число степеней свободы здесь также v = п - 2.

При внешнем несходстве двух формул для t, они тождественны. Действительно, из того, что


r 2 _ 1 - n_ 2 Sy]x_

Подставив значение sy^x в формулу для стандартной ошибки

Животный жир и рак молочной железы

В опытах на лабораторных животных показано, что высокое содержание животного жира в рационе повышает риск рака молочной железы. Наблюдается ли эта зависимость у людей? К. Кэррол собрал данные о потреблении животных жиров и смертности от рака молочной железы по 39 странам. Результат представлен на рис. 8.12А. Коэффициент корреляции между потреблением животных жиров и смертностью от рака молочной железы оказался равен 0,90. Оценим статистическую значимость корреляции.

0,90 1 - 0,902 39 - 2

Критическое значение t при числе степеней свободы v = 39 - 2 = 37 равно 3,574, то Єсть меньше полученного нами. Таким образом, при уровне значимости 0,001 можно утверждать, что существует корреляция между потреблением животных жиров и смертностью от рака молочной железы.

Теперь проверим, связана ли смертность с потреблением растительных жиров? Соответствующие данные приведены на рис. 8.12Б. Коэффициент корреляции равен 0,15. Тогда

1 - 0,152 39 - 2

Даже при уровне значимости 0,10 вычисленное значение t меньше критического. Корреляция статистически не значима.

Коэффициент корреляции - это степень связи между двумя переменными. Его расчет дает представление о том, есть ли зависимость между двумя массивами данных. В отличие от регрессии, корреляция не позволяет предсказывать значения величин. Однако расчет коэффициента является важным этапом предварительного статистического анализа. Например, мы установили, что коэффициент корреляции между уровнем прямых иностранных инвестиций и темпом роста ВВП является высоким. Это дает нам представление о том, что для обеспечения благосостояния нужно создать благоприятный климат именно для зарубежных предпринимателей. Не такой уж и очевидный вывод на первый взгляд!

Корреляция и причинность

Пожалуй, нет ни одной сферы статистики, которая бы так прочно вошла в нашу жизнь. Коэффициент корреляции используется во всех областях общественных знаний. Основная его опасность заключается в том, что зачастую его высокими значениями спекулируют для того, чтобы убедить людей и заставить их поверить в какие-то выводы. Однако на самом деле сильная корреляция отнюдь не свидетельствует о причинно-следственной зависимости между величинами.

Коэффициент корреляции: формула Пирсона и Спирмана

Существует несколько основных показателей, которые характеризуют связь между двумя переменными. Исторически первым является коэффициент линейной корреляции Пирсона. Его проходят еще в школе. Он был разработан К. Пирсоном и Дж. Юлом на основе работ Фр. Гальтона. Этот коэффициент позволяет увидеть взаимосвязь между рациональными числами, которые изменяются рационально. Он всегда больше -1 и меньше 1. Отрицательно число свидетельствует об обратно пропорциональной зависимости. Если коэффициент равен нулю, то связи между переменными нет. Равен положительному числу - имеет место прямо пропорциональная зависимость между исследуемыми величинами. Коэффициент ранговой корреляции Спирмана позволяет упростить расчеты за счет построения иерархии значений переменных.

Отношения между переменными

Корреляция помогает найти ответ на два вопроса. Во-первых, является ли связь между переменными положительной или отрицательной. Во-вторых, насколько сильна зависимость. Корреляционный анализ является мощным инструментом, с помощью которого можно получить эту важную информацию. Легко увидеть, что семейные доходы и расходы падают и растут пропорционально. Такая связь считается положительной. Напротив, при росте цены на товар, спрос на него падает. Такую связь называют отрицательной. Значения коэффициента корреляции находятся в пределах между -1 и 1. Нуль означает, что зависимости между исследуемыми величинами нет. Чем ближе полученный показатель к крайним значениям, тем сильнее связь (отрицательная или положительная). Об отсутствии зависимости свидетельствует коэффициент от -0,1 до 0,1. Нужно понимать, что такое значение свидетельствует только об отсутствии линейной связи.

Особенности применения

Использование обоих показателей сопряжено с определенными допущениями. Во-первых, наличие сильной связи, не обуславливает того факта, что одна величина определяет другую. Вполне может существовать третья величина, которая определяет каждую из них. Во-вторых, высокий коэффициент корреляции Пирсона не свидетельствует о причинно-следственной связи между исследуемыми переменными. В-третьих, он показывает исключительно линейную зависимость. Корреляция может использоваться для оценки значимых количественных данных (например, атмосферного давления, температуры воздуха), а не таких категорий, как пол или любимый цвет.

Множественный коэффициент корреляции

Пирсон и Спирман исследовали связь между двумя переменными. Но как действовать в том случае, если их три или даже больше. Здесь на помощь приходит множественный коэффициент корреляции. Например, на валовый национальный продукт влияют не только прямые иностранные инвестиции, но и монетарная и фискальная политика государства, а также уровень экспорта. Темп роста и объем ВВП - это результат взаимодействия целого ряда факторов. Однако нужно понимать, что модель множественной корреляции основывается на целом ряде упрощений и допущений. Во-первых, исключается мультиколлинеарность между величинами. Во-вторых, связь между зависимой и оказывающими на нее влияние переменными считается линейной.

Области использования корреляционно-регрессионного анализа

Данный метод нахождения взаимосвязи между величинами широко применяется в статистике. К нему чаще всего прибегают в трех основных случаях:

  1. Для тестирования причинно-следственных связей между значениями двух переменных. В результате исследователь надеется обнаружить линейную зависимость и вывести формулу, которая описывает эти отношения между величинами. Единицы их измерения могут быть различными.
  2. Для проверки наличия связи между величинами. В этом случае никто не определяет, какая переменная является зависимой. Может оказаться, что значение обеих величин обуславливает какой-то другой фактор.
  3. Для вывода уравнения. В этом случае можно просто подставить в него числа и узнать значения неизвестной переменной.

Человек в поисках причинно-следственной связи

Сознание устроено таким образом, что нам обязательно нужно объяснить события, которые происходят вокруг. Человек всегда ищет связь между картиной мира, в котором он живет, и получаемой информацией. Часто мозг создает порядок из хаоса. Он запросто может увидеть причинно-следственную связь там, где ее нет. Ученым приходится специально учиться преодолевать эту тенденцию. Способность оценивать связи между данными объективно необходима в академической карьере.

Предвзятость средств массовой информации

Рассмотрим, как наличие корреляционной связи может быть неправильно истолковано. Группу британских студентов, отличающихся плохим поведением, опросили относительно того, курят ли их родители. Потом тест опубликовали в газете. Результат показал сильную корреляцию между курением родителей и правонарушениями их детей. Профессор, который проводил это исследование, даже предложил поместить на пачки сигарет предупреждение об этом. Однако существует целый ряд проблем с таким выводом. Во-первых, корреляция не показывает, какая из величин является независимой. Поэтому вполне можно предположить, что пагубная привычка родителей вызвана непослушанием детей. Во-вторых, нельзя с уверенностью сказать, что обе проблемы не появились из-за какого-то третьего фактора. Например, низкого дохода семей. Следует отметить эмоциональный аспект первоначальных выводов профессора, который проводил исследование. Он был ярым противником курения. Поэтому нет ничего удивительного в том, что он интерпретировал результаты своего исследования именно так.

Выводы

Неправильное толкование корреляции как причинно-следственной связи между двумя переменными может стать причиной позорных ошибок в исследованиях. Проблема состоит в том, что оно лежит в самой основе человеческого сознания. Многие маркетинговые трюки построены именно на этой особенности. Понимание различия между причинно-следственной связью и корреляцией позволяет рационально анализировать информацию как в повседневной жизни, так и в профессиональной карьере.

7.3.1. Коэффициенты корреляции и детерминации. Можно количественно определить тесноту связи между факторами и ее направленность (прямую или обратную), вычислив:

1) если нужно определить носящую линейный характер взаимосвязь между двумя факторами, - парный коэффициент корреляции : в 7.3.2 и 7.3.3 рассмотрены операции вычисления парного линейного коэффициента корреляции по Бравэ–Пирсону (r ) и парного рангового коэффициента корреляции по Спирмену (r );

2) если мы хотим определить взаимосвязь между двумя факторами, но зависимость эта явно нелинейная - то корреляционное отношение ;

3) если мы хотим, определить связь между одним фактором и некоторой совокупностью других факторов - то (или, что то же самое, «коэффициент множественной корреляции»);

4) если мы хотим выявить изолированно связь одного фактора только с конкретным другим, входящим в группу факторов, воздействующих на первый, для чего приходится считать влияние всех остальных факторов неизменным - то частный (парциальный) коэффициент корреляции .

Любой коэффициент корреляции (r, r) не может по абсолютной величине превышать 1, то есть –1 < r (r) < 1). Если получено значение 1, то это значит, что рассматриваемая зависимость не статистическая, а функциональная, если 0 - корреляции нет вообще.

Знак при коэффициенте корреляции определяет направ­ленность связи: знак «+» (либо отсутствие знака) означает, что связь прямая (положительная ), знак «–» - что связь обратная (отрицательная ). К тесноте связи знак никакого отношения не имеет

Коэффициент корреляции характеризует статистическую взаимосвязь. Но часто нужно определить другого типа зависимость, а именно: каков вклад некоторого фактора в формирование другого связанного с ним фактора. Такого рода зависимость с некоторой долей условности характеризуется коэффициентом детерминации (D ), определяемым по формуле D = r 2 ´100% (где r - коэффициент корреляции по Бравэ–Пирсону, см. 7.3.2). Если измерения проводились в шкале порядка (шкале рангов) , то с некоторым ущербом для достоверности можно вместо значения r подставить в формулу значение r (коэффициента корреляции по Спирмену, см. 7.3.3).

Например, если мы получили как характеристику зависимости фактора Б от фактора А коэффициент корреляции r = 0,8 или r = –0,8, то D = 0,8 2 ´100% = 64%, то есть около 2½ 3. Следовательно, вклад фактора А и его изменений в формирование фактора Б составляет примерно 2½ 3 от суммарного вклада всех вообще факторов.

7.3.2. Коэффициент корреляции по Бравэ-Пирсону. Процедуру вычисления коэффициента корреляции по Бравэ–Пирсону (r ) можно применять только в тех случаях, когда связь рассматривается на базе выборок, имеющих нормальное распределение частот (нормальное распределение ) и полученных измерениями в шкалах интервалов или отношений. Расчетная формула этого коэффициента корреляции:



å (x i – )(y i – )

r = .

n×s x ×s y

Что показывает коэффициент корреляции? Во-первых, знак при коэффициенте корреляции показывает направленность связи, а именно: знак «–» свидетельствует о том, что связь обратная , или отрицательная (имеет место тенденция: с убыванием значений одного фактора соответствующие значения другого фактора растут, а с возрастанием - убывают), а отсутствие знака или знак «+» свидетельствуют о прямой , или положительной связи (имеет место тенденция: с увеличением значений одного фактора увеличиваются и значения другого, а с уменьшением - уменьшаются). Во-вторых, абсолютная (не зависящая от знака) величина коэффициента корреляции говорит о тесноте (силе) связи. Принято считать (в достаточной мере условно): при значениях r < 0,3 корреляция очень слабая , нередко ее просто не принимают в расчет, при 0,3 £ r < 5 корреляция слабая , при 0,5 £ r < 0,7) - средняя , при 0,7 £ r £ 0,9) - сильная и, наконец, при r > 0,9 - очень сильная. В нашем случае (r » 0,83) связь обратная (отрицательная) и сильная.

Напомним: значения коэффициента корреляции могут находиться в интервале от –1 до +1. Выход значения r за эти пределы свидетельствует о том, что в расчетах допущена ошибка . Если r = 1, то это значит, что связь не статистическая, а функциональная - чего в спорте, биологии, медицине практически не бывает. Хотя при небольшом количестве измерений случай ный подбор значений, дающий картину функциональной связи, возможен, но такой случай тем менее вероятен, чем больше объем сопоставляемых выборок (n), то есть количество пар сравниваемых измерений.

Расчетная таблица (табл. 7,1)строится соответственно формуле.

Таблица 7.1.

Расчетная таблица для вычисления по Бравэ–Пирсону

x i y i (x i – ) (x i – ) 2 (y i – ) (y i – ) 2 (x i – )(y i – )
13,2 4,75 0,2 0,04 –0,35 0,1225 – 0,07
13,5 4,7 0,5 0,25 – 0,40 0,1600 – 0,20
12,7 5,10 – 0,3 0,09 0,00 0,0000 0,00
12,5 5,40 – 0,5 0,25 0,30 0,0900 – 0,15
13,0 5,10 0,0 0,00 0,00 0.0000 0,00
13,2 5,00 0,1 0,01 – 0,10 0,0100 – 0,02
13,1 5,00 0,1 0,01 – 0,10 0,0100 – 0,01
13,4 4,65 0,4 0,16 – 0,45 0,2025 – 0,18
12,4 5,60 – 0,6 0,36 0,50 0,2500 – 0,30
12,3 5,50 – 0,7 0,49 0,40 0,1600 – 0,28
12,7 5,20 –0,3 0,09 0,10 0,0100 – 0,03
åx i =137 =13,00 åy i =56,1 =5,1 å(x i – ) 2 = =1,78 å(y i – ) 2 = = 1,015 å(x i – )(y i – )= = –1,24

Поскольку s х = ï ï = ï ï» 0,42, а

s y =ï ï» 0,32, r » –1,24ï (11´0,42´0,32)» –1,24ï 1,48 » –0,83 .

Иными словами, нужно очень твердо знать, что коэффициент корреляции не может по абсолютной величине превосходить 1,0. Это нередко позволяет избежать грубейших ошибок, точнее - найти и исправить допущенные при подсчетах ошибки.

7.3.3. Коэффициент корреляции по Спирмену . Как уже было сказано, применять коэффициент корреляции по Бравэ–Пирсону (r) можно только в тех случаях, когда анализируемые факторы по распределению частот близки к нормальному и значения вариант получены измерениями обязательно в шкале отношений или в шкале интервалов, что бывает, если они выражены физическими единицами. В остальных случаях находят коэффициент корреляции по Спирмену (r ). Впрочем, этот коэффициент можно применять и в случаях, когда разрешено (и желательно! ) применять коэффициент корреляции по Бравэ-Пирсону. Но следует иметь в виду, что процедура определения коэффициента по Бравэ-Пирсону обладает большей мощностью («разрешающей способностью »), поэтому r более информативен, чем r . Даже при большом n отклонение r может быть порядка ±10%.

Таблица 7.2 Расчетная формула коэффици-

x i y i R x R y |d R | d R 2 ента корреляции по Спирмену

13,2 4,75 8,5 3,0 5,5 30,25 r = 1 – . Вос

13,5 4,70 11,0 2,0 9,0 81,00 пользуемся нашим примером

12,7 5,10 4,5 6,5 2,0 4,00 для расчета r , но построим

12,5 5,40 3,0 9,0 6,0 36,00 иную таблицу (табл.7.2).

13,0 5,10 6,0 6,5 0,5 0,25 Подставим значения:

13,2 5,00 8,5 4,5 4,0 16,00 r = 1– =

13,1 5,00 7,0 4,5 2,5 6,25 =1– 2538:1320 » 1–1,9 » – 0,9.

13,4 4,65 10,0 1,0 9,0 81,00 Мы видим: r оказался немного

12,4 5,60 2,0 11,0 9,0 81,00 больше, чем r , но это разли-

12,3 5,50 1,0 10,0 9,0 81,00 чие не очень велико. Ведь при

12,7 5,20 4,5 8,0 3,5 12,25 таком малом n значения r и r

åd R 2 = 423 очень уж приблизительны, мало достоверны, их действительное значение может колебаться в широких пределах, поэтому различие r иr в 0,1 малосущественно. Обычно r рассматривают как аналог r , но только менее точный . Знаки при r и r показывает направленность связи.

7.3.4. Применение и проверка достоверности коэффициентов корреляции. Определение степени корреляционной зависимости между факторами необходимо для управления развитием нужного нам фактора: для этого приходится влиять на другие факторы, существенно влияющие на него, и нужно знать меру их действенности. Знать про взаимосвязь факторов нужно для разработки или выбора готовых тестов: информативность теста определяется корреляцией его результатов с проявле­ниями интересующего нас признака или свойства. Без знания корреляций невозможны любые формы отбора.

Выше было отмечено, что в спортивной и вообще педагогической, медицинской и даже экономической и социологической практике большой интерес представляет определение того вклада , который один фактор вносит в формирование другого . Это связано с тем, что помимо рассматриваемого фактора-причины на целевой (интересующий нас) фактор действуют, давая каждый тот или иной вклад в него, и другие.

Считается, что мерой вклада каждого фактора-причины может служить коэффициент детерминации D i = r 2 ´100%. Так, например, если r = 0,6, т.е. связь между факторами А и Б средняя, то D = 0,6 2 ´100% = 36%. Зная, таким образом, что вклад фактора А в формирование фактора Б приблизительно 1½ 3, можно, например уделять целенаправленному развитию этого фактора приблизительно 1½ 3 тренировочного времени. Если же коэффициент корреляции r = 0,4 , то D = r 2 100% =16%, или примерно 1½ 6 - в два с лишним раза меньше, и уделять его развитию по этой логике следует соответственно лишь 1½ 6 часть тренировочного времени.

Величины D i для разных существенных факторов дают приблизительное представление о количественном взаимоот­ношении их влияний на интересующий нас целевой фактор, ради совершенствования которого мы, собственно, и работаем над другими факторами (например, прыгун в длину с разбега работает над повышением скорости своего спринтерского бега, так как оно является тем фактором, который дает самый значительный вклад в формирование результата в прыжках).

Напомним, что определяя D можно вместо r поставить r , хотя, конечно, точность определения оказывается ниже.

На основе выборочного (рассчитанного по выборочным данным) коэффициента корреляции нельзя делать вывод о достоверности факта наличия связи между рассматриваемыми факторами вообще. Для того, чтобы сделать такой вывод с той или иной степенью обоснованности, используют стандартные критерии значимости корреляции . Их применение предполагает линейную зависимость между факторами и нормальное распределение частот в каждом из них (имея в виду не выборочное, а генеральное их представление).

Можно, например, применить t-критерии Стьюдента. Его рас-

четная формула: t p = –2 , где k - исследуемый выборочный коэффициент корреляции, a n - объем сопоставляемых выборок. Полученное расчетное значение t-критерия (t р)сравнивают с табличным при выбранном нами уровне значимости и числе степеней свободы n = n – 2. Чтобы избавиться от расчетной работы, можно воспользоваться специальной таблицей критических значений выборочных коэффициентов корреляции (см. выше), соответствующих наличию достоверной связи между факторами (с учетом n и a ).

Таблица 7.3.

Граничные значений достоверности выборочного коэффициента корреляции

Число степеней свободы при определении коэффициентов корреляции принимают равным 2 (т.е. n = 2) Указанные в табл. 7.3 значения имеют нижней границей доверительного интервала истинного коэффициента корреляции 0, то есть при таких значениях нельзя утверждать, что корреляция вообще имеет место. При значении выборочного коэффициента корреляции выше указанного в таблице можно при соответствующем уровне значимости считать, что истинный коэффициент корреляции не равен нулю.

Но ответ на вопрос, есть ли реальная связь между рассматриваемыми факторами, оставляет место для другого вопроса: в каком интервале лежит истинное значение коэффициента корреляции, каким он может быть на самом деле, при бесконечно большом n ? Этот интервал для любого конкретного значения r и n сопоставляемых факторов можно рассчитать, но удобнее пользоваться системой графиков (номограммой ), где каждая пара кривых, построенная для не которого указанного над ними n , соответствует границам интервала.

Рис. 7.4. Доверительные границы выборочного коэффициента корреляции (a = 0,05). Каждая кривая соответствует указанному над ней n .

Обратясь к номограмме на рис. 7.4, можно определить интервал значений истинного коэффициента корреляции для вычисленных значений выборочного коэффициента корреляции при a = 0,05.

7.3.5. Корреляционные отношения. Если парная корреляция нелинейна , нельзя вычислять коэффициент корреляции, определяют корреляционные отношения . Обязательное требование: признаки должны быть измерены в шкале отношений или в шкале интервалов. Можно вычислять корреляционную зависимость фактора X от фактора Y и корреляционную зависимость фактора Y от фактора X - они различаются. При небольшом объеме n рассматриваемых выборок, представляющих факторы, для вычисления корреляционных отношений можно пользоваться формулами:

корреляционное отношение h x ½ y = ;

корреляционное отношение h y ½ x = .

Здесь и - средние арифметические выборок X и Y, и - внутриклассовые средние арифметические. Tо есть - среднее арифметическое тех значений в выборке фактора Х, с которыми сопряжены одинаковые значения в выборке фактора Y (например, если в факторе X имеются значения 4, 6, и 5, с которыми в выборке фактора Y сопряжены 3 варианты с одинаковым значением 9, то = (4+6+5)½ 3 = 5). Соответственно - среднее арифметическое тех значений в выборке фактора Y, с которыми сопряжены одинаковые значения в выборке фактора Х. Приведем пример и проведем расчет:

Х: 75 77 78 76 80 79 83 82 ; Y: 42 42 43 43 43 44 44 45 .

Таблица 7.4

Расчетная таблица

х i y i x y х i – х (х i – х ) 2 х i – х y (x i – x y ) 2
–4 –1
–2
–3 –2
–1
–3
x=79 y=43 S=76 S=28

Следовательно, h y ½ x = » 0,63.

7.3.6. Частные и множественный коэффициенты корреляции. Чтобы оценить зависимость между 2-мя факторами, вычисляя коэффициенты корреляции, мы как бы по умолчанию предполагаем, что никакие другие факторы на эту зависимость никакого воздействия не оказывают. В реальности дело обстоит не так. Так, на зависимость между весом и ростом очень существенно влияют калорийность питания, величина систематической физической нагрузки, наследственность и др. Когда нужно при оценке связи между 2-мя факторами учесть существенное влияние других факторов и в то же время как бы изолироваться от них, считая их неизменными , вычисляют частные (иначе - парциальные ) коэффициенты корреляции.

Пример: нужно оценить парные зависимости между 3-мя существенно действующими факторами X, Y и Z. Обозначим r XY (Z) частный (парциальный) коэффициент корреляции между факторами X и Y (при этом величину фактора Z считаем неизменной), r ZX (Y) - частный коэффициент корреляции между факторами Z и X (при неизменном значении фактора Y), r YZ (X) - частный коэффициент корреляции между факторами Y и Z (при неизменном значении фактора X). Используя вычисленные простые парные (по Бравэ-Пирсону) коэффициенты корреляции r XY , r XZ и r YZ , м

ожно вычислить частные (парциальные) коэффициенты корреляции по формулам:

r XY – r XZ ´r YZ r XZ – r XY ´r ZY r ZY –r ZX ´r YZ

r XY (Z) = ; r XZ (Y) = ; r ZY (Х) =

Ö(1–r 2 XZ)(1–r 2 YZ) Ö(1– r 2 XY)(1–r 2 ZY) Ö(1–r 2 ZX)(1–r 2 YX)

И частные коэффициенты корреляции могут принимать значения от –1 до +1. Возведя их в квадрат, получают соответствующие частные коэффициенты детерминации , называемые также частными мерами определенности (умножив на 100, выразим в %%). Частные коэффициенты корреляции больше или меньше отличаются от простых (полных) парных коэффициентов, что зависит от силы влияния на них 3-го фактора (как бы неизменного). Нулевая гипотеза (Н 0), то есть гипотеза об отсутствии связи (зависимости) между факторами X и Y, проверяется (при общем количество признаков k ) вычислением t-критерия по формуле: t Р = r XY (Z) ´ (n –k) 1 ½ 2 ´ (1–r 2 XY (Z)) –1 ½ 2 .

Если t Р < t a n , гипотеза принимается (считаем, что зависимости нет), если же t Р ³ t a n - гипотеза опровергается, то есть считается, что зависимость действительно имеет место. t a n берется по таблице t -критерия Стьюдента, причем k - количество учитываемых факторов (в нашем примере 3), число степеней свободы n = n – 3. Другие частные коэффициенты корреляции проверяют аналогично (в формулу вместо r XY (Z) подставляют соответственно r XZ (Y) или r ZY (X)).

Таблица 7.5

Исходные данные

Ö (1 – 0,71 2)(1 – 0,71 2) Ö (1 – 0,5)(1 – 0,5)

Для оценки зависимости фактора Х от совместного действия нескольких факторов (здесь факторы Y и Z), вычисляют значения простых парных коэффициентов корреляции и, используя их, вычисляют множественный коэффициент корреляции r X (YZ) :

Ö r 2 XY + r 2 XZ – 2r XY ´ r XZ ´ r YZ

r X (YZ) = .

Ö 1 – r 2 YZ

7.2.7. Коэффициент ассоциации. Нередко требуется количественно оценить зависимость между качественными признаками, т.е. такими признаками, которые нельзя представить (охарактеризовать) количественно, которые неизмеримы . Например, стоит задача выяснить, существует ли зависимость между спортивной специализацией занимающихся и такими личностными свойствами, как интравертность (направленность личности на явления собственного субъективного мира) и экстравертность (направленность личности на мир внешних объектов). Условные обозначения представим в табл. 7.6.

Таблица 7.6.

X (лет) Y (раз) Z (раз) X (лет) Y (раз) Z (раз)
Признак 1 Признак 2 Интравертность Экстравертность
Спортивные игры а b
Гимнастика с d

Очевидно, что числами, имеющимися в нашем распоряжении, здесь могут быть только частоты распределений. В таком случае вычисляют коэффициент ассоциации (другое название «коэффициент сопряженности »). Рассмотрим простейший случай: связь между двумя парами признаков, при этом вычисленный коэффициент сопряженности называют тетрахорическим (см. табл.).

Таблица 7.7.

а =20 b = 15 a + b = 35
с =15 d = 5 c + d = 20
a + c = 35 b + d = 20 n = 55

Вычисления производим по формуле:

ad – bc 100 – 225 –123

Вычисление коэффициентов ассоциации (коэффициентов сопряжения) при большем количестве признаков связано с расчетами по аналогичной матрице соответствующего порядка.