После тридцатилетнего поиска найдены нелинейные дифференциальные уравнения, обладающие трехмерными солитонными решениями. Ключевой стала идея «комплексификации» времени, которая может найти дальнейшие приложения в теоретической физике.

При изучении какой-либо физической системы вначале идет этап «первоначального накопления» экспериментальных данных и их осмысление. Затем эстафета передается теоретической физике. Задача физика-теоретика состоит в том, чтобы на основании накопленных данных вывести и решить математические уравнения для этой системы. И если первый шаг, как правило, не представляет особой проблемы, то второй — точное решение полученных уравнений — зачастую оказывается несравненно более трудной задачей.

Так уж получается, что эволюция во времени многих интересных физических систем описываются нелинейными дифференциальными уравнениями : такими уравнениями, для которых не работает принцип суперпозиции . Это сразу лишает теоретиков возможности использовать многие стандартные приемы (например, комбинировать решения, разлагать их в ряд), и в результате для каждого такого уравнения приходится изобретать абсолютно новый метод решения. Зато в тех редких случаях, когда такое интегрируемое уравнение и метод его решения находится, решается не только исходная задача, но и целый ряд смежных математических проблем. Именно поэтому физики-теоретики иногда, поступаясь «естественной логикой» науки, вначале ищут такие интегрируемые уравнения, а уже затем пытаются найти им применения в разных областях теорфизики.

Одним из самых замечательных свойств таких уравнений являются решения в виде солитонов — ограниченных в пространстве «кусочков поля», которые перемещаются с течением времени и сталкиваются друг с другом без искажений. Являясь ограниченными в пространстве и неделимыми «сгустками», солитоны могут дать простую и удобную математическую модель многих физических объектов. (Подробнее о солитонах см. популярную статью Н. А. Кудряшова Нелинейные волны и солитоны // СОЖ, 1997, № 2, с. 85-91 и книжку А. Т. Филиппова Многоликий солитон .)

К сожалению, разных видов солитонов известно очень мало (см. Портретную галерею солитонов), и все они не очень подходят для описания объектов в трехмерном пространстве.

Например, обычные солитоны (которые встречаются в уравнении Кортевега—де Фриза) локализованы всего лишь в одном измерении. Если такой солитон «запустить» в трехмерном мире, то он будет иметь вид летящей вперед бесконечной плоской мембраны. В природе, однако, такие бесконечные мембраны не наблюдаются, а значит, исходное уравнение для описания трехмерных объектов не годится.

Не так давно были найдены солитоноподобные решения (например, дромионы) более сложных уравнений, которые локализованы уже в двух измерениях. Но и они в трехмерном виде представляют собой бесконечно длинные цилиндры, то есть тоже не очень физичны. Настоящие же трехмерные солитоны найти до сих пор не удавалось по той простой причине, что неизвестны были уравнения, которые могли бы их произвести на свет.

На днях ситуация изменилась кардинальным образом. Кембриджскому математику А. Фокасу , автору недавней публикации A. S. Focas, Physical Review Letters 96, 190201 (19 May 2006) , удалось сделать существенный шаг вперед в этой области математической физики. Его короткая трехстраничная статья содержит сразу два открытия. Во-первых, он нашел новый способ выводить интегрируемые уравнения для многомерного пространства, а во-вторых, он доказал, что эти уравнения имеют многомерные солитоноподобные решения.

Оба этих достижения стали возможны благодаря смелому шагу, предпринятому автором. Он взял известные уже интегрируемые уравнения в двумерном пространстве и попробовал рассмотреть время и координаты как комплексные , а не вещественные числа. При этом автоматически получилось новое уравнение для четырехмерного пространства и двумерного времени . Следующим шагом он наложил нетривиальные условия на зависимость решений от координат и «времен», и уравнения стали описывать трехмерную ситуацию, зависящую от единственного времени.

Интересно, что такая «кощунственная» операция, как переход к двумерному времени и выделению в нем новой временно й оси, не сильно попортила свойства уравнения. Они по-прежнему остались интегрируемыми, и автору удалось доказать, что среди их решений имеются и столь желанные трехмерные солитоны. Теперь ученым остается записать эти солитоны в виде явных формул и изучить их свойства.

Автор выражает уверенность, что польза от разработанного им приема «комплексификации» времени вовсе не ограничивается теми уравнениями, которые он уже проанализировал. Он перечисляет целый ряд ситуаций в математической физике, в которых его подход может дать новые результаты, и призывает коллег попытаться применить его в самых разнообразных областях современной теоретической физики.

Морякам давно известны одиночные волны большой высоты, которые губят корабли. Долгое время считалось, что подобное встречается только в открытом океане. Однако последние данные говорят о том, что одиночные волны-убийцы (до 20-30 метров высотой), или солитоны (от английского solitary – «уединенный»), могут появляться и в прибрежных зонах. Происшествие с «Бирмингемом” Мы находились примерно в 100 милях к юго-западу от Дурбана на пути в Кейптаун. Крейсер шел быстро и почти без качки, встречая умеренную зыбь и ветровые волны, когда внезапно мы провалились в яму и понеслись вниз навстречу следующей волне, которая прокатилась через первые орудийные башни и обрушилась на наш открытый капитанский мостик. Я был сбит с ног и на высоте 10 метров над уровнем моря оказался в полуметровом слое воды. Корабль испытал такой удар, что многие решили, что нас торпедировали. Капитан сразу же уменьшил ход, но эта предосторожность оказалась напрасной, так как умеренные условия плавания восстановились и больше «ям» не попадалось. Это происшествие, случившееся ночью с затемненным кораблем. было одним из наиболее волнующих в море. Я охотно верю, что груженое судно при таких обстоятельствах может потонуть». Так описывает неожиданную встречу с одиночной катастрофической волной британский офицер с крейсера “Бирмингем-. Эта история произошла во время Второй мировой войны, поэтому понятна реакция экипажа, решившего, что крейсер торпедирован. Не столь удачно закончилось аналогичное происшествие с пароходом “Уарита” в 1909 году. На нем находились 211 пассажиров и команда. Погибли все. Такие одиночные неожиданно появляющиеся в океане волны, собственно, и получили название волн-убийц, или солитонов. Казалось бы. любой шторм можно назвать -убийцей.. Ведь действительно, сколько судов погибло во время бури и гибнет сейчас? Сколько моряков нашли свое последнее пристанище в пучинах бушующего моря? И все же волны. возникающие в результате морских штормов и даже ураганов, “убийцами” не называют. Считается, что встреча с солитоном наиболее вероятна у южного побережья Африки. Когда транспортные морские пути благодаря Суэцкому каналу изменились и суда перестали ходить вокруг Африки, количество встреч с волнами-убийцами уменьшилось. Тем не менее уже после Второй мировой войны с 1947 года примерно за 12 лет с солитонами повстречались весьма крупные корабли – “Босфонтейн”. “Гиастеркерк”, “Оринфонтейн” и “Яхерефонтейн”, не считая более мелких местных судов. В период арабо-израильской войны Суэцкий канал был практически закрыт, и движение судов вокруг Африки снова стало интенсивным. От встречи с волной-убийцей в июне 1968 года погиб супертанкер «Уорлд Глори» водоизмещением более 28 тысяч тонн. Танкер получил штормовое предупреждение, и при подходе шторма все выполнялось по инструкции. Ничего плохого не предвиделось. Но среди обычных ветровых волн, которые серьезной опасности не представляли. неожиданно возникла огромная волна высотой около 20 метров с очень крутым фронтом. Она подняла танкер так, что его середина -опиралась» на волну, а носовая и кормовая части оказались в воздухе. Танкер был нагружен сырой нефтью и под своим весом разломился пополам. Эти половинки еще какое-то время сохраняли плавучесть, но через четыре часа танкер ушел на дно. Правда, большую часть экипажа удалось спасти. В 70-е годы «нападения» волн-убийц на корабли продолжались. В августе 1973 года судно “Нептун Сапфир”, шедшее из Европы в Японию, в 15 милях от мыса Хермис при ветре около 20 метров в секунду испытало неожиданный удар неизвестно откуда взявшейся одиночной волны. Удар был такой силы, что носовая часть судна длиной примерно 60 метров отломилась от корпуса! Судно «Нептун Сапфир» имело самую совершенную конструкцию для тех лет. Тем не менее встреча с волной-убийцей оказалась для него роковой. Подобных случаев описано довольно много. В страшный перечень катастроф, естественно, попадают не только крупные суда, на которых существуют возможности спасения экипажа. Встреча с волнами-убийцами для малых судов чаще всего заканчивается намного трагичнее. Такие корабли не только испытывают сильнейший удар. способный их разрушить, но на крутом переднем фронте волны могут запросто опрокинуться. Это происходит столь быстро, что рассчитывать на спасение невозможно.Это не цунами Что же это такое – волны-убийцы? Первая мысль, которая приходит в голову осведомленному читателю, – это цунами. После катастрофического «набега» гравитационных волн на юго-восточные берега Азии многие представляют цунами как жуткую стену воды с крутым передним фронтом, обрушивающуюся на берег и смывающую дома и людей. Действительно, цунами способны на многое. После появления этой волны у северных Курил гидрографы, изучая последствия, обнаружили приличных размеров катер, переброшенный через прибрежные холмы в глубь острова. То есть энергия цунами просто поражает. Однако это все касается цунами, «нападающих» на берег. В переводе на русский язык термин “цунами” означает “большая волна в гавани”. Ее очень трудно обнаружить в открытом океане. Там высота этой волны обычно не превышает одного метра, а средние, типичные размеры -десятки сантиметров. Да и уклон чрезвычайно маленький, ведь при такой высоте ее длина составляет несколько километров. Так что выявить цунами на фоне бегущих ветровых волн или зыби практически нереально. Почему же при «нападении» на берег цунами становятся такими устрашающими? Дело в том, что эта волна из-за своей большой длины приводит в движение воду по всей глубине океана. И, когда при распространении она достигает сравнительно мелководных районов, вся эта колоссальная масса воды из глубин поднимается вверх. Вот так «безобидная» в открытом океане волна становится разрушительной на побережье. Так что волны-убийцы – это не цунами. На самом дел солитоны – это необыкновенное и малоизученное явление. Их называют волнами, хотя на самом деле они нечто иное. Для возникновения солитонов, конечно, необходим некоторый изначальный импульс, удар, иначе откуда взяться энергии, но не только. В отличие от обычных волн солитоны распространяются на большие расстояния с очень малым рассеянием энергии. Это загадка, которая еще ждет изучения. Солитоны практически не взаимодействуют друг с другом. Как правило, они распространяются с разными скоростями. Конечно, может получиться так, что один солитон догонит другой, и тогда они суммируются по высоте, но потом все равно снова разбегаются по своим путям. Конечно, сложение солитонов – редкое событие. Но есть еще одна причина резкого возрастания у них крутизны и высоты. Причина эта – подводные уступы, через которые «пробегает» солитон. При этом в подводной части происходит отражение энергии, и волна как бы «выплескивается» вверх. Подобная ситуация изучалась на физических моделях международной научной группой. Опираясь на эти исследования, можно прокладывать более безопасные маршруты движения судов. Но загадок все же остается намного больше, чем изученных особенностей, и тайна волн-убийц по-прежнему ждет своих исследователей. Особенно загадочны солитоны внутри вод моря, на так называемом «слое скачка плотности». Эти солитоны могут приводить (или уже приводили) к катастрофам подводных лодок.

Одно из наиболее удивительных и красивых волновых явлений - образование уединенных волн, или солитонов, распространяющихся в виде импульсов неизменной формы и во многом подобных частицам. К солитонным явлениям относятся, например, волны цунами, нервные импульсы и др.
В новом издании (1-е изд. - 1985 г.) материал книги существенно переработан с учетом новейших достижений.
Для школьников старших классов, студентов, преподавателей.

Предисловие к первому изданию 5
Предисловие ко второму изданию 6
Введение 7

Часть I. ИСТОРИЯ СОЛИТОНА 16
Глава 1. 150 лет назад 17
Начало теории волн (22). Братья Веберы изучают волны (24). О пользе теории волн (25). О главных событиях эпохи (28). Наука и общество (34).
Глава 2. Большая уединенная волна Джона Скотта Рассела 37
До роковой встречи (38). Встреча с уединенной волной (40). Этого не может быть! (42). А все-таки она существует! (44). Реабилитация уединенной волны (46). Изоляция уединенной волны (49). Волна или частица? (50).
Глава 3. Родственники солитона 54
Герман Гельмгольц и нервный импульс (55). Дальнейшая судьба нервного импульса (58). Герман Гельмгольц и вихри (60). «Вихревые атомы» Кельвина (68). Лорд Росс и вихри в космосе (69). О линейности и нелинейности (71).

Часть II. НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 76 Глава 4. Портрет маятника 77
Уравнение маятника (77). Малые колебания маятника (79). Маятник Галилея (80). О подобии н размерностях (82). Сохранение энергии (86). Язык фазовых диаграмм (90). Фазовый портрет (97). Фазовый портрет маятника (99). «Солитонное» решение уравнения маятника (103). Движения маятника и «ручной» солитон (104). Заключительные замечания (107).
Волны в цепочке связанных частиц (114). Отступление в историю. Семья Бернулли и волны (123). Волны Д’Аламбера и споры вокруг них (125). О дискретном и непрерывном (129). Как измерили скорость звука (132). Дисперсия волн в цепочке атомов (136). Как «услышать» разложение Фурье? (138). Несколько слов о дисперсии света (140). Дисперсия волн на воде (142). С какой скоростью бежит стая волн (146). Сколько энергии в волне (150).

Часть III. НАСТОЯЩЕЕ И БУДУЩЕЕ СОЛ ИТОНОВ 155
Что такое теоретическая физика (155). Идеи Я. И. Френкеля (158). Атомная модель движущейся дислокации по Френкелю и Конторовой (160). Взаимодействие дислокаций (164). «Живой» солитонный атом (167). Диалог читателя с автором (168). Дислокации и маятники (173). Во что превратились звуковые волны (178). Как увидеть дислокации? (182). Настольные солитоны (185). Другие близкие родственники дислокаций по математической линии (186). Магнитные солитоны (191).
Может ли человек «дружить» с ЭВМ (198). Многоликий хаос (202). ЭВМ удивляет Энрико Ферми (209) Возвращение солитона Рассела (215). Океанические солитоны: цунами, «девятый вал» (227). Три солитона (232). Солитонный телеграф (236). Нервный импульс - «элементарная частица» мысли (241). Вездесущие вихри (246). Эффект Джозефсона (255). Солитоны в длинных джозефсоновских переходах (260). Элементарные частицы и солитоны (263). Единые теории и струны (267).
Глава 6. Солитоны Френкеля 155
Глава 7. Второе рождение солитона 195
Приложения
Краткий именной указатель

Многим, вероятно, встречалось слово «со-литон», созвучное таким словам, как электрон или протон. Научной идее, скрывающейся за этим легко запоминающимся словом, ее истории и творцам и посвящена эта книга.
Рассчитана она на самый широкий круг читателей, усвоивших школьный курс физики и математики и интересующихся наукой, ее историей и приложениями. Рассказано в ней о солитонах далеко не все. Зато большую часть того, что осталось после всех ограничений, я старался изложить достаточно подробно. При этом некоторые хорошо известные вещи (например, о колебаниях и волнах) пришлось представить несколько иначе, чем это сделано в других научно-популярных и вполне научных книгах и статьях, которыми я, конечно, широко пользовался. Перечислить их авторов и упомянуть всех ученых, беседы с которыми повлияли на содержание этой книги, совершенно невозможно, и я приношу им свои извинения вместе с глубокой бл а года р ностью.
Особо я хотел бы поблагодарить С. П. Новикова за конструктивную критику и поддержку, Л. Г. Асламазова и Я. А. Смородинского за ценные советы, а также Ю. С. Гальперн и С. Р. Филоновича, которые внимательно прочли рукопись и сделали много замечаний, способствовавших ее улучшению.
Эта книга была написана в 1984 г. и при подготовке нового издания автору, естественно, хотелось рассказать о новых интересных идеях, родившихся в последнее время. Главные добавления относятся к оптическим и джозефсоновским солитонам, наблюдению и применению которых были недавно посвящены очень интересные работы. Несколько расширен раздел, посвященный хаосу, и по совету покойного Якова Борисовича Зельдовича более подробно рассказано об ударных волнах и детонации. В конце книги добавлен очерк о современных единых теориях частиц и их взаимодействий- В нем также сделана попытка дать некоторое представление о релятивистских струнах - новом и довольно загадочном физическом объекте, с изучением которого связываются надежды на создание единой теории всех известных нам взаимодействий. Добавлено небольшое математическое приложение, а также краткий именной указатель.
В книгу также внесено немало более мелких изменений - что-то выброшено, а что-то добавлено. Вряд ли стоит описывать это подробно. Автор пытался было сильно расширить все, что относится к компьютерам, но эту идею пришлось оставить, этойтеме лучше было бы посвятить отдельную книгу. Надеюсь, что предприимчивый читатель, вооруженный каким-нибудь компьютером, сможет на материале этой книги придумать и осуществить свои собственные компьютерные эксперименты.
В заключение мне приятно выразить благодарность всем читателям первого издания, сообщившим свои замечания и предложения по содержанию и форме книги. В меру своих возможностей я постарался их учесть.
Нигде единство природы и универсальность ее законов не проявляются так ярко, как в колебательных и волновых явлениях. Каждый школьник без труда ответит на вопрос: «Что общего между качелями, часами, сердцем, электрическим звонком, люстрой, телевизором, саксофоном и океанским лайнером?» - и легко продолжит этот список. Общее, конечно, то, что во всех этих системах существуют или могут возбуждаться колебания.
Некоторые из них мы видим невооруженным глазом, другие наблюдаем с помощью приборов. Одни колебания очень простые, как, например, колебания качелей, другие намного сложнее - достаточно посмотреть на электрокардиограммы или энцефалограммы, но мы всегда легко отличим колебательный процесс по характерной повторяемости, периодичности.
Мы знаем, что колебание - это периодическое движение или изменение состояния, причем неважно, что движется или изменяет состояние. Наука о колебаниях изучает то общее, что есть в колебаниях самой разной природы.
Точно так же можно сравнивать и волны совершенно разной природы - рябь на поверхности лужи, радиоволны, «зеленую волну» светофоров на автомобильной трассе - и многие, многие другие. Наука о волнах изучает волны сами по себе, отвлекаясь от их физической природы. Волна рассматривается как процесс передачи возбуждения (в частности, колебательного движения) от одной точки среды к другой. При этом природа среды и конкретный характер ее возбуждений несущественны. Поэтому естественно, что колебательные и звуковые волны и связи между ними изучает сегодня единая наука - теория
колебаний и волн. Общий характер этих связей хорошо известен. Часы «тикают», звонок звенит, качели качаются и скрипят, излучая звуковые волны; по кровеносным сосудам распространяется волна, которую мы наблюдаем, измеряя пульс; электромагнитные колебания, возбужденные в колебательном контуре, усиливаются и уносятся в пространство в виде радиоволн; «колебания» электронов в атомах рождают свет и т. д.
При распространении простой периодической волны малой амплитуды частицы среды совершают периодические движения. При небольшом увеличении амплитуды волны амплитуда этих движений также пропорционально увеличивается. Если, однако, амплитуда волны становится достаточно большой, то могут возникнуть новые явления. Например, волны на воде при большой высоте становятся крутыми, на них образуются буруны, и они в конце концов опрокидываются. При этом характер движения частиц волны полностью меняется. Частицы воды в гребне волны начинают двигаться совершенно беспорядочно, т. е. регулярное, колебательное движение переходит в нерегулярное, хаотическое. Это - самая крайняя степень проявления нелинейности волн на воде. Более слабое проявление нелинейности - зависимость формы волны от ее амплитуды.
Чтобы объяснить, что такое нелинейность, нужно сначала объяснить, что такое линейность. Если волны имеют очень малую высоту (амплитуду), то при увеличении их амплитуды, скажем, в два раза они остаются точно такими же, их форма и скорость распространения не изменяются. Если одна такая волна набежит на другую, то возникающее в результате более сложное движение можно описать, просто складывая высоты обеих волн в каждой точке. На этом простом свойстве линейных волн основано хорошо известное объяснение явления интерференции волн.
Волны с достаточно малой амплитудой всегда линейны. Однако с увеличением амплитуды их форма и скорость начинают зависеть от амплитуды, и их уже нельзя просто складывать, волны становятся нелинейными. При большой амплитуде нелинейность порождает буруны и приводит к опрокидыванию волн.
Форма волн может искажаться не только из-за нелинейности. Хорошо известно, что волны разной длины распространяются, вообще говоря, с различной скоростью. Это явление называется дисперсией. Наблюдая волны, разбегающиеся кругами от брошенного в воду камня, легко увидеть, что длинные волны на воде бегут быстрее коротких. Если на поверхности воды в длинной и узкой канавке образовалось небольшое возвышение (его легко сделать с помощью перегородок, которые можно быстро убрать), то оно, благодаря дисперсии, быстро распадется на отдельные волны разной длины, рассеется и исчезнет.
Замечательно, что некоторые из таких водяных холмиков не исчезают, а живут достаточно долго, сохраняя свою форму. Увидеть рождение таких необычных «уединенных» волн вовсе не просто, но тем не менее 150 лет назад они были обнаружены и изучены в опытах, идея которых была только что описана. Природа этого удивительного явления долгое время оставалась загадочной. Казалось, что оно противоречит хорошо установленным наукой законам образования и распространения волн. Лишь спустя многие десятилетия после публикации сообщения об опытах с уединенными волнами их загадка была частично решена. Оказалось, что они могут образовываться, когда «уравновешиваются» эффекты нелинейности, делающие холмик более крутым и стремящиеся опрокинуть его, и эффекты дисперсии, делающие его более пологим и стремящиеся размыть его. Между Сциллой нелинейности и Харибдой дисперсии и рождаются уединенные волны, совсем недавно получившие название солитонов.
Уже в наше время были открыты и наиболее удивительные свойства солитонов, благодаря которым они стали предметом увлекательных научных поисков. О них будет подробно рассказано в этой книге. Одно из замечательных свойств уединенной волны - это то, что она похожа на частицу. Две уединенные волны могут сталкиваться и разлетаться подобно бильярдным шарам, и в некоторых случаях можно представить себе солитон просто как частицу, движение которой подчиняется законам Ньютона. Самое же замечательное в солитоне - это его многоликость. За последние 50 лет были открыты и изучены многие уединенные волны, подобные солитонам на поверхности волн, но существующие совсем в иных условиях.
Их общая природа выяснилась относительно недавно, в последние 20 - 25 лет.
Сейчас изучают солитоны в кристаллах, магнитных материалах, сверхпроводниках, в живых организмах, в атмосфере Земли и других планет, в галактиках. По-видимому, солитоны играли важную роль в процессе эволюции Вселенной. Многие физики сейчас увлечены идеей, что элементарные частицы (например, протон) тоже можно рассматривать как солитоны. Современные теории элементарных частиц предсказывают различные, пока не наблюдавшиеся солитоны, например солитоны, несущие магнитный заряд!
Уже начинается применение солитонов для хранения и передачи информации. Развитие этих идей в будущем может привести к революционным изменениям, например, в технике связи. В общем, если вы еще не слышали о солитонах, то очень скоро услышите. Эта книга - одна из первых попыток доступно рассказать о солитонах. Разумеется, рассказать о всех известных сегодня солитонах невозможно, не стоит и пытаться. Да в этом и нет необходимости.
Действительно, чтобы понять, что такое колебания, вовсе не надо знакомиться со всем многообразием колебательных явлений, встречающихся в природе и. технике. Достаточно понять основные идеи науки о колебаниях на простейших примерах. Например, все малые колебания похожи друг на друга, и нам достаточно понять, как колеблется грузик на пружинке или маятник в настенных часах. Простота малых колебаний связана с их линейностью - сила, возвращающая грузик или маятник к положению равновесия, пропорциональна отклонению от этого положения. Важное следствие линейности - независимость частоты колебаний от их амплитуды (размаха).
Если условие линейности нарушено, то колебания гораздо более разнообразны. Тем не менее можно выделить некоторые типы нелинейных колебаний, изучив которые, можно понять работу самых разных систем - часов, сердца, саксофона, генератора электромагнитных колебаний...
Самый важный пример нелинейных колебаний дают нам движения все того же маятника, если не ограничиваться малыми амплитудами и устроить маятник так, чтобы он мог не только качаться, но и вращаться. Замечательно, что, хорошо разобравшись с маятником, можно понять и устройство солитона! Именно на этом пути мы с вами, читатель, и попробуем понять, что такое солитон.
Хотя это и самая простая дорога в страну, где живут солитоны, на ней нас подстерегают многие трудности, и тот, кто хочет по-настоящему понять солитон, должен запастись терпением. Сначала надо изучить линейные колебания маятника, затем уяснить связь между этими колебаниями и линейными волнами, в особенности понять природу дисперсии линейных волн. Это не так уж сложно. Связь между нелинейными колебаниями и нелинейными волнами гораздо сложнее и тоньше. Но все-таки мы и ее попробуем описать без сложной математики. Достаточно полно нам удается представить лишь один тип солитонов, с остальными же придется разбираться по аналогии.
Пусть читатель воспринимает эту книгу как путешествие в незнакомые края, в котором он подробно познакомится с одним каким-нибудь городом, а по остальным местам прогуляется, присматриваясь ко всему новому и стараясь связать его с тем, что уже удалось понять. С одним городом все же надо познакомиться достаточно хорошо, иначе есть риск упустить самое интересное из-за незнания языка, нравов и обычаев чужих краев.
Итак, в Дорогу, читатель! Пусть это «собранье пестрых глав» будет путеводителем по еще более пестрой и разноликой стране, где живут колебания, волны и солитоны. Чтобы облегчить пользование этим путеводителем, сначала надо сказать несколько слов о том, что в нем содержится, чего в нем нет.
Отправляясь в незнакомую страну, естественно сначала познакомиться с ее географией и историей. В нашем случае это почти одно и то же, так как изучение данной страны по сути дела только начинается, и нам неизвестны даже ее точные границы.
В первой части книги излагается история уединенной волны вместе с основными представлениями о ней. Затем рассказано о вещах, на первый взгляд довольно непохожих на уединенную волну на поверхности воды, - о вихрях и нервном импульсе. Их исследование тоже началось в прошлом веке, но родство с солитонами было установлено совсем недавно.
Читатель сможет по-настоящему понять эту связь, если у него хватит терпения добраться до последней главы. В счет компенсации затраченных усилий он сможет увидеть глубокое внутреннее родство столь несходных явлений, как цунами, лесные пожары, антициклоны, солнечные пятна, упрочнение металлов при ковке, намагничивание железа и т. д.
Но сначала нам придется на некоторое время погрузиться в прошлое, в первую половину XIX в., когда возникли идеи, которые в полной мере были освоены лишь в наше время. В этом лрошлом нас в первую очередь будет интересовать история учения о колебаниях, волнах и то, как на этом фоне возникли, развивались и воспринимались идеи, составившие впоследствии фундамент науки о солитонах. Нас будут интересовать судьбы именно идей, а не судьбы их создателей. Как сказал Альберт Эйнштейн, история физики - это драма, драма идей. В этой драме «...поучительно следить за изменчивыми судьбами научных теорий. Они более интересны, чем изменчивые судьбы людей, ибо каждая из них включает что-то бессмертное, хотя бы частицу вечной истины»*).
*) Эти слова принадлежат польскому физику Мариану Смолуховскому, одному из создателей теории броуновского движения. За развитием некоторых основных физических идей (таких, как волна, частица, поле, относительность) читатель может проследить по замечательной популярной книге А. Эйнштейна и T. Инфельда «Эволюция физики» (М.: ГТТИ, 1956).
Тем не менее было бы неправильно не упомянуть о создателях этих идей, и в этой книге уделено достаточно много внимания людям, впервые высказавшим те или иные ценные мысли, независимо от того, стали они знаменитыми учеными или нет. Автор особо старался извлечь из забвения имена людей, недостаточно оцененных своими современниками и потомками, а также напомнить о некоторых малоизвестных работах достаточно знаменитых ученых. (Здесь для примера рассказано о жизни нескольких ученых, мало известных широкому кругу читателей и высказавших идеи, в той или иной мере имеющие отношение к со-литону; о других приведены лишь краткие данные.)
Эта книга - не учебник, тем более не учебник по истории науки. Возможно, не все приводимые в ней исторические сведения изложены абсолютно точно и объективно. История теории колебаний и волн, в особенности нелинейных, изучена недостаточно. История же солитонов пока вообще не написана. Может быть, кусочки мозаики этой истории, собранные автором в разных местах, пригодятся кому-нибудь для более серьезного исследования. Мы же во второй части книги в основном сосредоточимся на физике и математике нелинейных колебаний и волн в том виде и объеме, в котором это необходимо для достаточно глубокого знакомства с солитоном.
Во второй части сравнительно много математики. Предполагается, что читатель достаточно хорошо понимает, что такое производная и как с помощью производной выражаются скорость и ускорение. Необходимо также вспомнить некоторые формулы тригонометрии.
Совсем без математики обойтись нельзя, но на самом деле нам понадобится немного больше того, чем владел Ньютон. Двести лет назад французский философ, педагог и один из реформаторов школьного преподавания Жан Антуан Кондорсе сказал: «В настоящее время молодой человек по окончании школы знает из математики более того, что Ньютон приобрел путем глубокого изучения или открыл своим гением; он умеет владеть орудиями вычисления с легкостью, тогда недоступной». Мы добавим к тому, что Кондорсе предполагал известным школьникам, немногое из достижений Эйлера, семьи Бернулли, Д’Аламбера, Лагранжа и Коши. Для понимания современных физических представлений о солитоне этого вполне достаточно. О современной математической теории солитонов не рассказывается - она весьма сложна.
Мы все же напомним в этой книге обо всем, что нужно из математики, и, кроме того, читатель, которому не хочется или некогда разбираться в формулах, может просто бегло их просмотреть, следя лишь за физическими идеями. Вещи, более трудные или уводящие читателя в сторону от основной дороги, выделены мелким шрифтом.
Вторая часть в какой-то мере дает представление об учении о колебаниях и волнах, но о многих важных и интересных идеях в ней не говорится. Наоборот, то, что нужно для изучения солитонов, рассказано подробно. Читатель, который хочет познакомиться с общей теорией колебаний и волн, должен заглянуть в другие книги. Солитоны связаны со столь разными
науками, что автору пришлось во многих случаях рекомендовать другие книги для более подробного знакомства с некоторыми явлениями и идеями, о которых здесь сказано слишком кратко. В особенности стоит заглянуть в другие выпуски Библиотечки «Квант», которые часто цитируются.
В третьей части подробно и последовательно рассказано об одном типе солитонов, который вошел в науку 50 лет назад независимо от уединенной волны на воме и связан с дислокациями в кристаллах. В последней главе показано, как в конце концов судьбы всех солитонов скрестились и родилось общее представление о солитонах и солитоноподобных объектах. Особую роль в рождении этих общих идей сыграли ЭВМ. Вычисления на ЭВМ, которые привели ко второму рождению солитона, были первым примером численного эксперимента, когда ЭВМ использовались не просто для вычислений, а для обнаружения новых, неизвестных науке явлений. У численных экспериментов на ЭВМ, несомненно, большое будущее, и о них рассказано достаточно подробно.
После этого мы переходим к рассказу о некоторых современных представлениях о солитонах. Здесь изложение постепенно становится все более кратким, и по следние параграфы гл. 7 дают лишь общее представление о том, в каких направлениях развивается наука о солитонах. Задача этой совсем короткой экскурсии - дать понятие о науке сегодняшнего дня и немного заглянуть в будущее.
Если читатель сумеет уловить в представленной ему пестрой картине внутреннюю логику и единство, то основная цель, которую ставил перед собой автор, будет достигнута. Конкретная задача этой книги - рассказать о солитоне и его истории. Судьба этой научной идеи во многом кажется необычной, но при более глубоком размышлении выясняется, что многие научные идеи, которые сегодня составляют наше общее богатство, рождались, развивались и воспринимались с неменьшими трудностями.
Отсюда возникла более широкая задача этой книги - на примере солитона попытаться показать, как устроена наука вообще, как она в итоге после многих недоразумений, заблуждений и ошибок добирается до истины. Главная цель науки - добывать истинное и полное знание о мире, и она может принести пользу людям лишь в той мере, в какой приближается к этой цели. Самое трудное здесь - полнота. Истинность научной теории мы в конце концов устанавливаем с помощью экспериментов. Однако никто не может подсказать нам, как придумать новую научную идею, новое понятие, с помощью которого в сферу стройного научного знания входят целые миры явлений, прежде разобщенных, а то и вовсе ускользавших от нашего внимания. Можно себе представить мир без солитонов, но это уже будет другой, более бедный мир. Идея солитона, как и другие большие научные идеи, ценна не только тем, что она приносит пользу. Она еще больше обогащает наше восприятие мира, раскрывая его внутреннюю, ускользающую от поверхностного взгляда красоту.
Автору особенно хотелось приоткрыть читателю эту сторону работы ученого, роднящую ее с творчеством поэта или композитора, открывающих нам стройность и красоту мира в сферах, более доступных нашим чувствам. Работа ученого требует не только знаний, но и воображения, наблюдательности, смелости и самоотверженности. Может быть, эта книга поможет кому-то решиться пойти вслед за бескорыстными рыцарями науки, об идеях которых в ней рассказано, или хотя бы задуматься и попытаться понять, что заставляло неустанно работать их мысль, никогда ие удовлетворенную достигнутым. Автор хотел бы надеяться на это, но, к сожалению, «нам не дано предугадать, как слово наше отзовется...» Что получилось из намерения автора - судить читателю.

ИСТОРИЯ СОЛИТОНА

Наука! ты - дитя Седых Времен!
Меняя все вниманьем глаз прозрачных.
Зачем тревожишь ты поэта сон...
Эдгар По

Первая официально зарегистрированная встреча человека с солитоном произошла 150 лет назад, в августе 1834 г., вблизи Эдинбурга. Встреча эта была, на первый взгляд, случайной. Человек не готовился к ней специально, и от него требовались особые качества, чтобы он смог увидеть необычное в явлении, с которым сталкивались и другие, но не замечали в нем ничего удивительного. Джон Скотт Рассел (1808 - 1882) был сполна наделен именно такими качествами. Он не только оставил нам научно точное и яркое, не лишенное поэтичности описание своей встречи с солитоном *), но и посвятил многие годы жизни исследованию этого поразившего его воображение явления.
*) Он назвал его волной трансляции (переноса) или большой уединенной волной (great solitary wave). От слова solitary и был позже произведен термин «солитон».
Современники Рассела не разделяли его энтузиазма, и уединенная волна не стала популярной. С 1845 по 1965 гг. было опубликовано не более двух десятков научных работ, непосредственно связанных с со-литонами. За это время, правда, были открыты и частично изучены близкие родственники солитона, однако универсальность солитонных явлений не была понята, а об открытии Рассела почти не вспоминали.
В последние двадцать лет началась новая жизнь солитона, который оказался поистине многоликим и вездесущим. Ежегодно публикуются тысячи научных работ о солитонах в физике, математике, гидромеханике, астрофизике, метеорологии, океанографии, биологии. Собираются научные конференции, специально посвященные солитонам, о них пишутся книги, все большее число ученых включается в увлекательную охоту за солитонами. Короче, уединенная волна вышла из уединения в большую жизнь.
Как и почему произошел этот удивительный поворот в судьбе солитона, который не мог предвидеть даже влюбленный в солитон Рассел, читатель узнает, если у него хватит терпения дочитать эту книгу до конца. А пока попытаемся мысленно перенестись в 1834 г., чтобы представить себе научную атмосферу той эпохи. Это поможет нам лучше понять отношение современников Рассела к его идеям и дальнейшую судьбу солитона. Наша экскурсия в прошлое будет, по необходимости, очень беглой, мы познакомимся, главным образом, с теми событиями и идеями, которые прямо или косвенно оказались связанными с солитоном.

Глава 1
150 ЛЕТ НАЗАД

Век девятнадцатый, железный,
Вонстииу жестокий век...
А. Блок

Бедный век наш - сколько на него нападок, каким чудовищем считают его! И все за железные дороги, за пароходы - эти великие победы его, уже не над матернею только, но над пространством и временем.
В. Г. Белинский

Итак, первая половина прошлого века, время не только наполеоновских войн, социальных сдвигов и революций, но и научных открытий, значение которых раскрывалось постепенно, спустя десятилетия. Тогда об этих открытиях знали немногие, и лишь единицы могли предвидеть их великую роль в будущем человечества. Мы теперь знаем о судьбе этих открытий и не сумеем в полной мере оценить трудности их восприятия современниками. Но давайте все же попробуем напрячь воображение и память и попытаемся пробиться через пласты времени.
1834 год... Еще нет телефона, радио, телевидения, автомобилей, самолетов, ракет, спутников, ЭВМ, ядерной энергетики и многого другого. Всего пять лет назад построена первая железная дорога, и только что начали строить пароходы. Основной вид энергии, используемой людьми, - энергия нагретого пара.
Однако уже зреют идеи, которые в конце концов приведут к созданию технических чудес XX в. На все это уйдет еще почти сто лет. Между тем наука пока сосредоточена в университетах. Еще не пришло время узкой специализации, и физика еще не выделилась в отдельную науку. В университетах читают курсы «натурфилософии» (т. е. естествознания), первый физический институт будет создан только в 1850 г. В то далекое время фундаментальные открытия в физике можно сделать совсем простыми средствами, достаточно иметь гениальное воображение, наблюдательность и золотые руки.
Одно из удивительнейших открытий прошлого века было сделано с помощью проволочки, через которую пропускался электрический ток, и простого компаса. Нельзя сказать, что это открытие было совершенно случайным. Старший современник Рассела - Ханс Кристиан Эрстед (1777 - 1851) был буквально одержим идеей о связи между различными явлениями природы, в том числе между теплотой, звуком, электричеством, магнетизмом *). В 1820 г. во время лекции, посвященной поискам связей магнетизма с «гальванизмом» и электричеством, Эрстед заметил, что при пропускании тока через провод, параллельный стрелке компаса, стрелка отклоняется. Это наблюдение вызвало огромный интерес в образованном обществе, а в науке породило лавину открытий, начатую Андре Мари Ампером (1775 - 1836).
*) Тесную связь между электрическими и магнитными явлениями первым подметил еще в конце XVIII в. петербургский академик Франц Эпинус.
В знаменитой серии работ 1820 - 1825 гг. Ампер заложил основы единой теории электричества и магнетизма и назвал ее электродинамикой. Затем последовали великие открытия гениального самоучки Майкла Фарадея (1791 - 1867), сделанные им в основном в 30 - 40-х годах, - от наблюдения электромагнитной индукции в 1831 г. до формирования к 1852 г. понятия электромагнитного поля. Свои поражавшие воображение современников опыты Фарадей тоже ставил, используя самые простые средства.
В 1853 г. Герман Гельмгольц, о котором будет идти речь далее, напишет: «Мне удалось познакомиться с Фарадеем, действительно первым физиком Англии и Европы... Он прост, любезен и непритязателен, как ребенок; такого располагающего к себе человека я еще не встречал... Он был всегда предупредителен, показал мне все, что стоило посмотреть. Но осматривать пришлось немного, так как ему для его великих открытий служат старые кусочки дерева, проволоки и железа».
В это время электрон еще неизвестен. Хотя подозрения о существовании элементарного электрического заряда появились у Фарадея уже в 1834 г. в связи с открытием законов электролиза, научно установленным фактом его существование стало лишь в конце столетия, а сам термин «электрон» будет введен только в 1891 г.
Полная математическая теория электромагнетизма еще не создана. Ее творцу Джеймсу Кларку Максвеллу в 1834 г. было всего три года от роду, и он подрастает в том же самом городе Эдинбурге, где читает лекции по натурфилософии герой нашего рассказа. В это время физика, которая еще не разделилась на теоретическую и экспериментальную, только начинает математизироваться. Так, Фарадей в своих работах не применял даже элементарной алгебры. Хотя Максвелл и скажет позже, что он придерживается «не только идей, но и математических методов Фарадея», это утверждение можно понять лишь в том смысле, что идеи Фарадея Максвелл сумел перевести на язык современной ему математики. В «Трактате об электричестве и магнетизме» он писал:
«Может быть, для науки было счастливым обстоятельством то, что Фарадей не был собственно математиком, хотя он был в совершенстве знаком с понятиями пространства, времени и силы. Поэтому у него не было соблазна углубляться в интересные, но чисто математические исследования, которых потребовали бы его открытия, если бы они были представлены в математической форме... Таким образом, он имел возможность идти своим путем и согласовывать свои идеи с полученными фактами, пользуясь естественным, не техническим языком... Приступив к изучению труда Фарадея, я установил, что его метод понимания явлений был также математическим, хотя и не представленным в форме обычных математических символов. Я также нашел, что этот метод можно выразить в обычной математической форме и таким образом сравнить с методами профессиональных математиков».
Если вы спросите меня... назовут ли нынешний век железным веком или веком пара и электричества, я отвечу, не задумываясь, что наш век будет называться веком механического мировоззрения...
В то же время механика систем точек и твердых тел, как и механика движений жидкостей (гидродинамика), были уже существенно математизированы, т. е. они в значительной степени стали математическими науками. Задачи механики систем точек были полностью сведены к теории обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнения Ньютона - 1687 г., более общие уравнения Лагранжа - 1788 г.), а задачи гидромеханики - к теории так называемых дифференциальных уравнений с частными производными (уравнения Эйлера - 1755 г., уравнения Навье - 1823 г.). Это не значит, что все задачи были решены. Наоборот, в этих науках были впоследствии сделаны глубокие и важные открытия, поток которых не иссякает и в наши дни. Просто механика и гидромеханика достигли того уровня зрелости, когда рх основные физические принципы были отчетливо сформулированы и переведены на язык математики.
Естественно, что эти глубоко разработанные науки служили основой для построения теорий новых физических явлений. Понять явление для ученого прошлого века значило объяснить его иа языке законов механики. Образцом последовательного построения научной теории считалась небесная механика. Итоги ее развития были подведены Пьером Симоном Лапласом (1749 - 1827) в монументальном пятитомном «Трактате о небесной механике», вышедшем в свет в первой четверти века. Эта работа, в которой были собраны и обобщены достижения гигантов XVIII в. - Бернулли, Эйлера, Д’Аламбера, Лагранжа и самого Лапласа, оказала глубокое влияние на формирование «механического миропонимания» в XIX в.
Заметим, что в том же 1834 г. в стройную картину классической механики Ньютона и Лагранжа был добавлен завершающий мазок - знаменитый ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон (1805 - 1865) придал уравнениям механики так называемый канонический вид (согласно словарю С. И. Ожегова «канонический» означает «принятый за образец, твердо установленный, соответствующий канону») и открыл аналогию между оптикой и механикой. Каноническим уравнениям Гамильтона суждено было сыграть выдающуюся роль в конце века при создании статистической механики, а оптико-механическая аналогия, установившая связь между распространением волн и движением частиц, была использована в 20-е годы нашего века творцами квантовой теории. Идеи Гамильтона, который первым глубоко проанализировал понятие волн и частиц и связи между ними, сыграли немалую роль и в теории солитонов.
Развитие механики и гидромеханики, так же как и теории деформаций упругих тел (теории упругости), подстегивалось потребностями развивающейся техники. Дж. К. Максвелл много занимался также и теорией упругости, теорией устойчивости движения с приложениями к работе регуляторов, строительной механикой. Более того, разрабатывая свою электромагнитную теорию, он постоянно прибегал к наглядным моделям: «...я сохраняю надежду при внимательном изучении свойств упругих тел и вязких жидкостей найти такой метод, который позволил бы дать и для электрического состояния некоторый механический образ... (ср. с работой: Уильям Томсон «О механическом представлении электрических, магнитных и гальванических сил», 1847 г.)».
Другой знаменитый шотландский физик Уильям Томсон (1824 - 1907), впоследствии получивший за научные заслуги титул лорда Кельвина, вообще считал, что все явления природы необходимо сводить к механическим движениям и объяснять их на языке законов механики. Взгляды Томсона оказали сильное влияние на Максвелла, особенно в -его молодые годы. Удивительно, что Томсон, близко знавший и ценивший Максвелла, одним из последних признал его электромагнитную теорию. Это произошло только после знаменитых опытов Петра Николаевича Лебедева по измерению светового давления (1899 г.): «Я всю жизнь воевал с Максвеллом... Лебедев заставил меня сдаться...»

Начало теории волн
Хотя основные уравнения, описывающие движения жидкости, в 30-е годы XIX в. были уже получены, математическая теория волн на воде только начала создаваться. Простейшая теория волн на поверхности воды была дана Ньютоном в его «Математических началах натуральной философии», впервые изданных в 1687 г. Сто лет спустя знаменитый французский математик Жозеф Луи Лагранж (1736 - 1813) назвал этот труд «величайшим произведением человеческого ума». К сожалению, эта теория была основана на неправильном допущении, что частицы воды в волне просто колеблются вверх-вниз. Несмотря на то, что Ньютон не дал правильного описания волн на воде, он верно поставил задачу, и его простая модель вызвала к жизни другие исследования. Впервые правильный подход к поверхностным волнам был найден Лагранжем. Он понял, как можно построить теорию волн на воде в двух простых случаях - для волн с малой амплитудой («мелкие волны») и для волн в сосудах, глубина которых мала по сравнению с длиной волны («мелкая вода»), Лагранж не занимался детальной разработкой теории волн, так как его увлекали другие, более общие математические проблемы.
Много ли есть людей, которые, любуясь игрой волн на поверхности ручейка, думают, как найтн уравнения, по которым можно было бы вычислить форму любого волнового гребня?
Вскоре было найдено точное и удивительно простое решение уравнений, описывающих
волны на воде. Это первое, и одно из немногих точных, решение уравнений гидромеханики получил в 1802 г. чешский ученый, профессор математики в
Праге Франтишек Иозеф Герстнер (1756 - 1832)*).
*) Иногда Ф. И. Герстнера путают с его сыном, Ф. А. Герст-нером, несколько лет жившим в России. Под его руководством в 1836 - 1837 гг. была построена первая в России железная дорога (из Петербурга в Царское Село).
В волне Герстнера (рис. 1.1), которая может образоваться только на «глубокой воде», когда длина волны много меньше глубины сосуда, частицы жидкости движутся по окруж-стям. Волна Герстнера - первая изученная волна несинусоидальной формы. Из того, что частицы ЖИДКОСТИ движутся ПО окружностям, можно заключить, что поверхность воды имеет форму циклоиды. (от греч. «киклос» - круг и «эйдос» - форма), т. е. кривой, которую описывает какая-нибудь точка колеса, катящегося по ровной дороге. Иногда эту кривую называют трохоидой (от греч. «трохос» - колесо), а волны Герстнера - трохоидальными*). Только для очень мелких волн, когда высота волн становится много меньше их длины, циклоида становится похожей на синусоиду, и волна Герстнера превращается в синусоидальную. Хотя при этом частицы воды и мало отклоняются от своих положений равновесия, движутся они все равно по окружностям, а не качаются вверх-вниз, как полагал Ньютон. Надо заметить, что Ньютон ясно сознавал ошибочность такого допущения, но счел возможным воспользоваться им для грубой приближенной оценки скорости распространения волны: «Все происходит таким образом при предположении, что частицы воды поднимаются и опускаются по отвесным прямым линиям, но их движение вверх и вниз на самом деле происходит не по прямой, а вернее по кругу, поэтому я утверждаю, что время дается этим положениям лишь приближенно». Здесь «время» - период колебаний Т в каждой точке; скорость волны v = %/T, где К - длина волны. Ньютон показал, что скорость волны на воде пропорциональна -у/К. В дальнейшем мы увидим, что это правильный результат, и найдем коэффициент пропорциональности, который был известен Ньютону лишь приближенно.
*) Мы будем называть циклоидами кривые, описываемые точками, лежащими на ободе колеса, а трохоидами - кривые, описываемые точками между ободом и осью.
Открытие Герстнера не прошло незамеченным. Надо сказать, что он сам продолжал интересоваться волнами и свою теорию применял для практических расчетов плотин и дамб. Вскоре было положено начало и лабораторному исследованию волн на воде. Это сделали молодые братья Веберы.
Старший брат Эрист Вебер (1795 - 1878) сделал впоследствии важные открытия в анатомии и физиологии, в особенности в физиологии нервной системы. Вильгельм Вебер (1804 - 1891) стал знаменитым физиком и многолетним сотрудником «контроля математиков» К. Гаусса в исследованиях по физике. По предложению и при содействии Гаусса ои основал в Геттингенском университете первую в мире физическую лабораторию (1831 г.). Более всего известны его работы по электричеству и магнетизму, а также электромагнитная теория Вебера, которая была позднее вытеснена теорией Максвелла. Он одним из первых (1846 г.) ввел представление об отдельных частичках электрического вещества - «электрических массах» и предложил первую модель атома, в которой атом уподоблялся планетарной модели Солнечной системы. Вебер также разработал основную иа идее Фарадея теорию элементарных магнитиков в веществе и изобрел несколько физических приборов, которые для своего времени были весьма совершенными.
Эрнст, Вильгельм и младший их брат Эдуард Веберы серьезно заинтересовались волнами. Они были настоящими экспериментаторами, и простые наблюдения над волнами, которые можно видеть «на каждом шагу», их не могли удовлетворить. Поэтому они сделали простой прибор (лоток Веберов), который с разными усовершенствованиями до сих пор используется для опытов с волнами на воде. Построив длинный ящик со стеклянной боковой стенкой и нехитрые приспособления для возбуждения волн, они провели обширные наблюдения различных волн, в том числе и волн Герстнера, теорию которого они таким образом проверили на опыте. Результаты этих наблюдений они опубликовали в 1825 г. в книге под названием «Учение о волнах, основанное на опытах». Это было первое экспериментальное исследование, в котором систематически изучались волны разной формы, скорость их распространения, соотношения между длиной и высотой волны и т. д. Способы наблюдения были очень простые, остроумные и довольно эффективные. Например, для определения формы поверхности волны они опускали в ванну матовую стеклянную
пластину. Когда волна доходит до середины пластины, ее быстро выдергивают; при этом передняя часть волны совершенно правильно отпечатывается на пластине. Чтобы наблюдать пути колеблющихся в волне частиц, они заполняли лоток мутной водой из рек. Заале и наблюдали движения невооруженным глазом или с помощью слабого микроскопа. Таким способом они определили не только форму, но и размеры траекторий частиц. Так, они обнаружили, что траектории вблизи поверхности близки к окружностям, а при приближении к дну сплющиваются в эллипсы; вблизи самого дна частицы движутся горизонтально. Веберы открыли много интересных свойств волны на воде и других жидкостях.

О пользе теории волн
Никто не ищи своего, но каждый пользы другого.
Апостол Павел
Независимо от этого происходила разработка идей Лагранжа, связанная в основном с именами французских математиков Огюстена Луи Коши (1789 - 1857) и Симона Дени Пуассона (1781 - 1840). В этой работе принял участие и наш соотечественник Михаил Васильевич Остроградский (1801 - 1862). Эти знаменитые ученые много сделали для науки, их имена носят многочисленные уравнения, теоремы и формулы. Менее известны их работы по математической теории волн малой амплитуды на поверхности воды. Теорию таких волн можно применять к некоторым штормовым волнам на море, к движению судов, к волнам на отмелях и вблизи волноломов и т. д. Ценность математической теории таких волн для инженерной практики очевидна. Но в то же время математические методы, разработанные для решения этих практических задач, были позже применены и к решению совсем других, далеких от гидромеханики проблем. Мы еще не раз встретимся с подобными примерами «всеядности» математики и практической пользы от решения математических задач, на первый взгляд относящихся к «чистой» («бесполезной») математике.
Здесь автору трудно удержаться от небольшого отступления, посвященного одному эпизоду, связанному с появлением един-
ствениой работы Остроградского по теории воли. Эта математическая работа не только принесла отдаленную пользу науке и технике, но и оказала непосредственное и важное влияние на судьбу ее автора, что случается не так уж часто. Вот как излагает этот эпизод выдающийся русский кораблестроитель, математик и инженер, академик Алексей Николаевич Крылов (1863 - 1945). «В 1815 г. Парижская академия паук поставила теорию воли темою для «Большого приза по математике». В конкурсе приняли участие Коши и Пуассон. Премирован был обширный (около 300 стр.) мемуар Коши, мемуар Пуассона заслужил почетный отзыв... В это же.время (1822 г.) М. В. Остроградский, задолжавший вследствие задержки в высылке (из дома) денег содержателю гостиницы, был им посажен в Клиши (долговая тюрьма в Париже). Здесь он написал «Теорию воли в сосуде цилиндрической формы» и послал свой мемуар Коши, который ие только одобрил эту работу и представил ее Парижской академии паук для напечатания в ее трудах, но и, ие будучи богатым, выкупил Остроградского из долговой тюрьмы и рекомендовал его на должность учителя математики в один из лицеев в Париже. Ряд математических работ Остроградского обратил иа него внимание С.-Петербургской академии наук, и в 1828 г. он был избран в ее адъюнкты, а затем и в ординарные академики, имея лишь аттестат студента Харьковского университета, уволенного, ие окончив курс».
Добавим к этому, что Остроградский родился в небогатой семье украинских дворян, в 16 лет ои поступил на физико-математический факультет Харьковского университета по воле отца, вопреки собственным желаниям (ои хотел стать военным), но очень скоро проявились его выдающиеся способности к математике. В 1820 г. он с отличием сдал экзамены на кандидата, однако министр народного просвещения и духовных дел киязь А. Н. Голицын ие только отказал ему в присуждении степени кандидата, но и лишил ранее выданного диплома об окончании университета. Основанием послужили обвинения его в «безбожии и вольнодумстве», в том, что он «не посещал не только
лекции философии, по и богопознания и христианского учения». В результате Остроградский уехал в Париж, где усердно посещал лекции Лапласа, Коши, Пуассона, Фурье, Ампера и других выдающихся ученых. Впоследствии Остроградский стал член-кор-респондеитом Парижской академии наук, членом Туринской,
Римской и Американской академий и т. д. В 1828 г. Остроградский вернулся в Россию, в Петербург, где по личному повелению Николая I был взят под секретный надзор полиции*). Это обстоятельство не помешало, однако, карьере Остроградского, постепенно занявшего весьма высокое положение.
Работа о волнах, упомянутая А. Н. Крыловым, была опубликована в трудах Парижской академии наук в 1826 г. Она посвящена волнам малой амплитуды, т. е. задаче, над которой работали Коши и Пуассои. Больше к исследованию волн Остроградский не возвращался. Помимо чисто математических работ известны его исследования по гамильтоновой механике, одна из первых работ по изучению влияния нелинейной силы треиия на движение снарядов в воздухе (эта задача была поставлена еще
*) Император Николай I вообще относился к ученым с недоверием, считая всех их, не без оснований, вольнодумцами.
Эйлером). Остроградский был одним из первых, кто осознал необходимость изучения нелинейных колебаний и нашел остроумный способ приближенного учета малых нелинейностей в колебаниях маятника (задача Пуассона). К сожалению, многие свои научные начинания он не довел до конца - слишком много сил приходилось отдавать педагогической работе, прокладывающей дорогу новым поколениям ученых. Уже за одно это мы должны быть благодарны ему, как и другим российским ученым начала прошлого века, упорным трудом создавшим фундамент будущего развития науки в нашей стране.
Вернемся, однако, к нашему разговору о пользе волн. Можно привести замечательный пример применения идей теории волн к совсем другому кругу явлений. Речь идет о гипотезе Фарадея о волновом характере процесса распространения электрических и магнитных взаимодействий.
Фарадей уже при жизни стал знаменитым ученым, о нем и о его работах написаны многие исследования и популярные книги. Однако мало кто и сегодня знает, что Фарадей серьезно интересовался волнами на воде. Не владея математическими методами, известными Коши, Пуассону и Остроградскому, он очень ясно и глубоко понимал основные идеи теории волн на воде. Размышляя о распространении электрического и магнитного полей в пространстве, он попытался представить себе этот процесс по аналогии с распространением волн на воде. Эта аналогия, видимо, и привела его к гипотезе о конечности скорости распространения электрических и магнитных взаимодействий и о волновом характере этого процесса. 12 марта 1832 г. он записал эти мысли в специальном письме: «Новые воззрения, подлежащие в настоящее время хранению в запечатанном конверте в архивах Королевского общества». Мысли, изложенные в письме, далеко опережали свое время, по сути дела здесь впервые сформулирована идея об электромагнитных волнах. Это письмо было погребено в архивах Королевского общества, его обнаружили лишь в 1938 г. Еидимо, и сам Фарадей забыл о нем (у него постепенно развилось тяжелое заболевание, связанное с потерей памяти). Основные идеи письма он изложил позже в работе 1846 г.
Разумеется, сегодня невозможно точно восстановить ход мыслей Фарадея. Но его размышления и опыты над волнами на воде незадолго до составления этого замечательного письма отражены в опубликованной им в 1831 г. работе. Она посвящена исследованию мелкой ряби на поверхности воды, т. е. так называемым «капиллярным» волнам *) (подробнее о них будет рассказано в гл. 5). Для их исследования он придумал остроумный и, как всегда, очень простой приборчик. Впоследствии метод Фарадея использовал Рассел, наблюдавший другие малозаметные, но красивые и интересные явления с капиллярными волнами. Опыты Фарадея и Рассела описаны в § 354 - 356 книги Рэлея (Джон Уильям Стрэтт, 1842 - 1919) «Теория звука», которая была впервые издана в 1877 г., но до сих пор не устарела и может доставить огромное удовольствие читателю (есть русский перевод). Рэлей не только много сделал для теории колебаний и волн, но и одним из первых признал и оценил уединенную волну.

О главных событиях эпохи
Совершенствования наукн следует ждать ие от способности или проворства какого-нибудь отдельного человека, а от последовательной деятельности многих поколений, сменяющих друг друга.
Ф. Бэкон
Между тем нам пора заканчивать несколько затянувшуюся историческую экскурсию, хотя картина науки той поры получилась, пожалуй, слишком однобокой. Чтобы как-то исправить это, совсем кратко напомним о событиях тех лет, которые историки науки справедливо считают наиболее важными. Как уже говорилось, все основные законы и уравнения механики были сформулированы в 1834 г. в том самом виде, в котором мы ими пользуемся и сегодня. К середине века были написаны и стали подробно изучаться основные уравнения, описывающие движения жидкостей и упругих тел (гидродинамика и теория упругости). Как мы видели, волны в жидкостях и в упругих телах интересовали многих ученых. Физиков, однако, гораздо сильнее увлекали в это время световые волны.
*) Эти волны связаны с силами поверхностного натяжения воды. Те же самые силы вызывают подъем воды в тончайших, толщиной с волос, трубочках (латинское слово capillus и означает волос).
В первой четверти века, в основном благодаря таланту и энергии Томаса Юнга (1773 - 1829), Огюстена Жана Френеля (1788 - 1827) и Доминика Франсуа Араго (1786 - 1853), победила волновая теория света. Победа не была легкой, ибо среди многочисленных противников волновой теории были такие крупные ученые, как Лаплас и Пуассон. Критический опыт, окончательно утвердивший волновую теорию, был сделан Араго на заседании комиссии Парижской академии наук, обсуждавшей представленную на конкурс работу Френеля о дифракции света. В докладе комиссии об этом расказано так: «Один из членов нашей комиссии, месье Пуассон, вывел из сообщенных автором интегралов тот удивительный результат, что центр тени от крупного непрозрачного экрана должен быть таким же освещенным, как и в том случае, если бы экран не существовал... Это следствие было проверено прямым опытом и наблюдение полностью подтвердило данные вычисления».
Это произошло в 1819 г., а в следующем году сенсацию вызвало уже упоминавшееся открытие Эрстеда. Публикация Эрстедом работы «Опыты, относящиеся к действию электрического конфликта на магнитную стрелку», породила лавину опытов по электромагнетизму. Общепризнано, что наибольший вклад в эту работу внес Ампер. Работа Эрстеда была опубликована в Копенгагене в конце июля, в начале сентября Араго объявляет об этом открытии в Париже, а в октябре появляется всем известный закон Био - Савара - Лапласа. С конца сентября Ампер выступает почти еженедельно (!) с сообщениями о новых результатах. Итоги этой дофарадеевской эпохи в электромагнетизме подведены в книге Ампера «Теория электродинамических явлений, выведенная исключительно из опыта».
Заметьте, как быстро распространялись в то время известия о событиях, которые вызывали всеобщий интерес, хотя средства связи были менее совершенные, чем сегодня (идея телеграфной связи была высказана Ампером в 1829 г., и только в 1844 г. в Северной Америке начала работать первая коммерческая телеграфная линия). Быстро стали широко известными и результаты опытов Фарадея. Этого, однако, нельзя сказать о распространении теоретических идей Фарадея, объяснявших его опыты (понятие о силовых линиях, электротоническом состоянии, т. е. об электромагнитном поле)
Первым всю глубину идей Фарадея оценил Максвелл, который и сумел иайти для иих подходящий математический язык.
Но это произошло уже в середине века. Читатель может спросить, почему же столь по-разиому воспринимались идеи Фарадея и Ампера. Дело, видимо, в том, что электродинамика Ампера уже созрела, «носилась в воздухе». Нисколько не умаляя великих заслуг Ампера, который первым придал этим идеям точную математическую форму, нужно все же подчеркнуть, что идеи Фарадея были гораздо более глубокими и революционными. Оии ие «носились в воздухе», а были рождены творческой мощью мысли и фантазии их автора. Затрудняло их восприятие то, что оии не были облечены в математические одежды. Не появись Максвелл - идеи Фарадея, возможно, были бы надолго забыты.
Третье важнейшее направление в физике первой половины прошлого века - начало развития учения о теплоте. Первые шаги теории тепловых явлений, естественно, были связаДы с работой паровых машин, а общие теоретические идеи формировались трудно и проникали в науку медленно. Замечательная работа Сади Карно (1796 - 1832) «Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу», опубликованная в 1824 г., прошла совершенно незамеченной. О ней вспомнили лишь благодаря появившейся в 1834 г. работе Клапейрона, но создание современной теории теплоты (термодинамики) - дело уже второй половины века.
С интересующими нас вопросами тесно связаны две работы. Одна из них - знаменитая книга выдающегося математика, физика и египтолога *) Жана Батиста Жозефа Фурье (1768 - 1830) «Аналитическая теория теплоты» (1822 г.), посвященная решению задачи о распространении тепла; в ней был детально разработан и применен к решению физических задач метод разложения функций на синусоидальные составляющие (разложение Фурье). От этой работы обычно отсчитывают зарождение математической физики как самостоятельной науки. Ее значение для теории колебательных и волновых процессов огромно - в течение более чем столетия основным способом исследования волновых процессов стало разложение сложных волн на простые синусоидальные
*) После наполеоновского похода в Египет ои составил «Описание Египта» и собрал небольшую, но ценную коллекцию египетских древностей. Фурье направлял первые шаги юного Жаиа-Фраисуа Шампольоиа, гениального дешифровщика иероглифического письма, основоположника египтологии. Дешифровкой иероглифов увлекался не без успеха и Томас Юнг. После занятий физикой это было, пожалуй, главным его увлечением.
(гармонические) волны, или «гармоники» (от «гармонии» в музыке).
Другая работа - доклад двадцатишестилетнего I ельмгольца «О сохранении силы», сделанный в 1847 г. на заседании основанного им Физического общества в Берлине. Герман Людвиг Фердинанд Гельмгольц (1821 - 1894) по праву считается одним из величайших естествоиспытателей, а эту его работу некоторые историки науки ставят в один ряд с наиболее выдающимися трудами ученых, заложивших основы естественных наук. В ней идет речь о наиболее общей формулировке принципа сохранения энергии (тогда ее называли «силой») для механических, тепловых, электрических («гальванических») и магнитных явлений, включая и процессы в «организованном существе». Для нас особенно интересно, что здесь Гельмгольц впервые отметил колебательный характер разряда лейденской банки и написал уравнение, из которого вскоре У. Томсон вывел формулу для периода электромагнитных колебаний в колебательном контуре.
В этой небольшой работе можно разглядеть намеки на будущие замечательные исследования Гельмгольца. Даже простое перечисление его достижений в физике, гидромеханике, математике, анатомии, физиологии и психофизиологии увело бы нас очень далеко в сторону от основной темы нашего рассказа. Упомянем лишь теорию вихрей в жидкости, теорию происхождения морских волн и первое определение скорости распространения импульса в нерве. Все эти теории, как мы вскоре увидим, имеют самое непосредственное отношение к современным исследованиям солитонов. Из других его идей необходимо упомянуть впервые высказанное им в лекции, посвященной физическим воззрениям Фарадея (1881 г.), представление о существовании элементарного («наименьшего возможного») электрического заряда («электрических атомов»). На опыте электрон был обнаружен лишь шестнадцать лет спустя.
Обе описанные работы были теоретическими, они составили фундамент математической и теоретической физики. Окончательное становление этих наук связано, несомнено, с работами Максвелла, а в первой половине века чисто теоретический подход к физическим явлениям был, в общем-то, чужд большинству
щеных. Физика считалась наукой чисто «опытной» и лавными словами даже в названиях работ были «опыт», «основанный на опытах», «выведенные из опытов». Интересно, что сочинение Гельмгольца, которое и в наши дни можно считать образцом глубины и ясности изложения, не было принято физическим журналом как теоретическое и слишком большое по объему и было позднее выпущено в свет отдельной брошюрой. Незадолго до смерти Гельмгольц так говорил об истории создания своей самой знаменитой работы:
«Молодые люди всего охотнее берутся сразу за самые глубокие задачи, так и меня занял вопрос о загадочном существе жизненной силы... я нашел, что... теория жизненной силы... приписывает всякому живому телу свойства «вечного двигателя»... Просматривая сочинения Даниила Бернулли, Д’Аламбера и других математиков прошлого столетия... я натолкнулся на вопрос: «какие отношения должны существовать между различными силами природы, если принять, что «вечный двигатель» вообще невозможен и выполняются ли в действительности все эти соотношения...» Я намеревался только дать критическую оценку и систематику фактов в интересах физиологов. Для меня не было бы неожиданностью, если бы в конце концов сведущие люди сказали мне: «Да все это отлично известно. Чего хочет этот юный медик, распространяясь так подробно об этих вещах?» К моему удивлению, те авторитеты по физике, с которыми мне пришлось войти в соприкосновение, посмотрели на дело совершенно иначе. Они были склонны отвергать справедливость закона; среди той ревностной борьбы, какую они дели с натурфилософией Гегеля, и моя работа была сочтена за фантастическое умствование. Только математик Якоби признал связь между моими рассуждениями и мыслями математиков прошлого века, заинтересовался моим опытом и защищал меня от недоразумений».
Эти слова ярко характеризуют умонастроение и интересы многих ученых той эпохи. В таком сопротивлении научного общества новым идеям есть, конечно, закономерность и даже необходимость. Так что не будем торопиться осуждать Лапласа, не понимавшего Френеля, Вебера, не признававшего идей Фарадея, или Кельвина, противившегося признанию теории Максвелла, а лучше спросим себя, легко ли дается нам самим усвоение новых, непохожих на все, с чем мы свыклись, идей. Признаем, что некоторый консерватизм заложен в нашей человеческой природе, а значит, и в науке, которую делают люди. Говорят, что некий «здоровый консерватизм» даже необходим для развития науки, так как он препятствует распространению пустых фантазий. Однако это отнюдь не утешает, когда вспоминаешь о судьбах гениев, заглянувших в будущее, но не понятых и не признанных своей эпохой.

Твой век, дивясь тебе, пророчеств не постиг
И с лестью смешивал безумные упреки.
В. Брюсов
Может быть, самые яркие примеры такого конфликта с эпохой в интересующее нас время (около 1830 г.) мы видим в развитии математики. Лицо этой науки тогда определяли, вероятно, Гаусс и Коши, завершавшие вместе с другими постройку великого здания математического анализа, без которого современная наука просто немыслима. Но мы не можем забыть и о том, что в это же время, не оцененные современниками, умерли молодые Абель (1802 - 1829) и Галуа (1811 - 1832), что с 1826 по 1840 гг. публиковали свои работы по неевклидовой геометрии Лобачевский (1792 - 1856) и Бойяи (1802 - I860), не дожившие до признания своих идей. Причины такого трагического непонимания глубоки и многообразны. Мы не можем углубляться в них, а приведем лишь еще один пример, важный для нашего рассказа.
Как мы увидим позже, судьба нашего героя, солитона, тесно связана с вычислительными машинами. Более того, история преподносит нам поразительное совпадение. В августе 1834 г., в то время, когда Рассел наблюдал уединенную волну, английский математик, экономист и инженер-изобретатель Чарльз Бэб-бедж (1792 - 1871) закончил разработку основных принципов своей «аналитической» машины, которые легли впоследствии в основу современных цифровых вычислительных машин. Идеи Бэббеджа далеко опередили свое время. Для реализации его мечты о постройке и использовании таких машин потребовалось более ста лет. В этом трудно винить современников Бэббеджа. Многие понимали необходимость вычислительных машин, но техника, наука и общество еще не созрели для осуществления его смелых проектов. Премьер-министр Англии сэр Роберт Пил, которому пришлось решать судьбу финансирования проекта, представленного Бэббеджем правительству, не был невеждой (он окончил Оксфорд первым по математике и классике). Он провел формально тщательное обсуждение проекта, но в результате пришел к выводу, что создание универсальной вычислительной машины не относится к первоочередным задачам британского правительства. Лишь в 1944 г. появились первые автоматические цифровые машины, и в английском журнале «Nature» («Природа») появилась статья под названием «Мечта Бэббеджа сбылась».

Наука и общество
Дружина ученых и писателей... всегда впереди во всех иабегах просвещения, на всех приступах образованности. Не должно нм малодушно негодовать на то, что вечно им определено выносить первые выстрелы и все невзгоды, все опасности.
А. С. Пушкин
Конечно, и успехи науки, и ее неудачи связаны с историческими условиями развития общества, на которых мы не можем задерживать внимание читателя. Не случайно именно в то время возник такой напор новых идей, что наука и общество не успевали их осваивать.
Развитие науки в разных странах шло неодинаковыми путями.
Во Франции научная жизнь объединялась и организовывалась Академией до такой степени, что работа, не замеченная и не поддержанная Академией или хотя бы известными академиками, имела мало шансов заинтересовать ученых. Зато уж работы, попавшие в поле зрения Академии, поддерживались и развивались. Это иногда вызывало протесты и возмущение со стороны молодых ученых. В статье, посвященной памяти Абеля, его друг Сеги писал: «Даже в случае Абеля и Якоби благосклонность Академии означала не признание несомненных заслуг этих молодых ученых, а скорее стремление поощрить исследование некоторых проблем, касающихся строго определенного круга вопросов, за пределами которого, по мнению Академии, не может быть прогресса науки и нельзя сделать никаких ценных открытий... Мы же скажем совсем другое: молодые ученые, не слушайте никого, кроме вашего собственного внутреннего голоса. Читайте труды гениев и размышляйте над ними, но никогда не превращайтесь в учеников, лишенных собст-
венного мнения... Свобода взглядов и объективность суждений - таков должен быть ваш девиз». (Пожалуй, «не слушать никого» - полемическое преувеличение, «внутренний голос» не всегда прав.)
Во множестве мелких государств, находившихся на территории будущей Германской империи (лишь к 1834 г. были закрыты таможни между большинством этих государств), научная жизнь была сосредоточена в многочисленных университетах, в большинстве которых велась также исследовательская работа. Именно там в это время начали складываться школы ученых и выходило большое число научных журналов, которые постепенно стали главным средством общения между учеными, неподвластным пространству и времени. Их образцу следуют и современные научные журналы.
На Британских островах не было ни академии французского типа, пропагандировавшей признанные ею достижения, ни таких научных школ, как в Германии. Большинство английских ученых работало в одиночку*). Этим одиночкам удавалось прокладывать совершенно новые пути в науке, но их работы часто оставались совершенно неизвестными, особенно когда они не были посланы в журнал, а были лишь доложены на заседаниях Королевского общества. Жизнь и открытия эксцентричного вельможи и гениального ученого, лорда Генри Кавендиша (1731 - 1810), работавшего в полном одиночестве в собственной лаборатории и опубликовавшего лишь две работы (остальные, содержавшие открытия, переоткрытые другими лишь десятки лет спустя, были найдены и опубликованы Максвеллом), особенно ярко иллюстрируют эти особенности науки в Англии на рубеже XVIII - XIX вв. Такие тенденции в научной работе сохранялись в Англии довольно продолжительное время. Например, уже упоминавшийся лорд Рэлей также работал как любитель, большую часть своих опытов он выполнил в своей усадьбе. Этим «любителем», помимо книги о теории звука, было написано
*) Не нужно воспринимать это слишком буквально. Любой ученый нуждается в постоянном общении с другими учеными. В Англии центром такого общения было Королевское общество, которое также располагало немалыми средствами для финансирования научных исследований.
больше четырехсот работ! Несколько лет работал в одиночестве в своем родовом гнезде и Максвелл.
В результате, как писал об этом времени английский историк науки, «наибольшее число совершенных по форме и содержанию трудов, ставших классическими... принадлежит, вероятно, Франции; наибольшее количество научных работ было выполнено, вероятно, в Германии; но среди новых идей, которые на протяжении века оплодотворяли науку, наибольшая доля, вероятно, принадлежит Англии». Последнее утверждение вряд ли можно отнести к математике. Если же говорить о физике, то это суждение кажется не слишком далеким от истины. Не забудем также, что современником Рассела *) был великий Чарльз Дарвин, который родился на год позже и умер в один год с ним.
В чем же причина успехов исследователей-одиночек, почему они смогли прийти к настолько неожиданным идеям, что многим другим не менее одаренным ученым они казались не просто неправильными, а даже почти безумными? Если сопоставить Фарадея и Дарвина - двух великих естествоиспытателей первой половины прошлого века, то бросается в глаза их необычайная независимость от учений, господствовавших в то время, доверие собственным зрению и разуму, великая изобретательность в постановке вопросов и стремление до конца понять то необычное, что им удалось наблюдать. Важно и то, что образованное общество не равнодушно к научным изысканиям. Если и нет понимания, то есть интерес, и вокруг первооткрывателей и новаторов обычно собирается кружок поклонников и сочувствующих. Даже у непонятого и ставшего к концу жизни мизантропом Бэббеджа были любящие и ценящие его люди. Его понимал и высоко ценил Дарвин, близким его сотрудником и первым программистом его аналитической машины стала выдающийся математик, дочь Байрона, леди
*) Большинство упоминаемых нами современников, вероятно, были знакомы друг с другом. Разумеется, члены Королевского общества встречались на заседаниях, но, кроме того, они поддерживали и личные связи. Например, известно, что Чарльз Дарвин бывал на приемах у Чарльза Бэббеджа, который со студенческих лет дружил с Джоном Гершелем, который близко знал Джона Рассела, и т. д.
Ада Августа Лавлейс. Бэббеджа также ценил Фарадей и другие выдающиеся люди его времени.
Общественное значение научных исследований уже стало понятным многим образованным людям, и это иногда помогало получать ученым необходимые средства, несмотря на отсутствие централизованного финансирования науки. К концу первой половины XVIII в. Королевское общество и ведущие университеты располагали большими средствами, чем любые ведущие научные учреждения на континенте. «...Плеяда выдающихся ученых-физиков, как Максвелл, Рэлей, Томсон... не могла бы возникнуть, если бы... в Англии в то время не существовало бы культурной научной общественности, правильно оценивающей и поддерживающей деятельность ученых» (П. Л. Капица).

KOHEЦ ГЛАВЫ И ФPAГMEHTA КНИГИ

После расчетов и поиска аналогий эти ученые установили, что уравнение, которое использовали Ферми, Паста и Улам, при уменьшении расстояния между грузиками и при неограниченном росте их числа переходит в уравнение Кортевега-де Фриса. То есть по существу задача, предложенная Ферми, сводилась к численному решению уравнения Кор­тевега-де Фриса, предложенного в 1895 году для описания уединенной волны Рассела. Примерно в те же годы было показано, что для описания ионно-звуковых волн в плазме используется также уравне­ние Кортевега-де Фриса. Тогда стало ясно, что это уравнение встречается во многих областях физики и, следовательно, уединенная волна, которая опи­сывается этим уравнением, является широко рас­пространенным явлением.

Продолжая вычислительные эксперименты по моделированию распространения таких волн, Крус­кал и Забуски рассмотрели их столкновение. Оста­новимся подробнее на обсуждении этого замеча­тельного факта. Пусть имеются две уединенные волны, описываемые уравнением Кортевега-де Фриса, которые различаются амплитудами и дви­жутся друг за другом в одном направлении (рис. 2). Из формулы для уединенных волн (8) следует, что скорость движения таких волн тем выше, чем боль­ше их амплитуда, а ширина пика уменьшается с ростом амплитуды. Таким образом, высокие уеди­ненные волны движутся быстрее. Волна с большей амплитудой догонит движущуюся впереди волну с меньшей амплитудой. Далее в течение некоторого времени две волны будут двигаться вместе как еди­ное целое, взаимодействуя между собой, а затем они разъединятся. Замечательным свойством этих-волн является то, что после своего взаимодействия форма и

Рис. 2. Два солитона, описываемые уравнением Кортевега-де Фриса,

до взаимодействия (вверху) и после (внизу)

скорость этих волн восстанавливаются. Обе волны после столкновения лишь смещаются на не­которое расстояние по сравнению с тем, как если бы они двигались без взаимодействия.

Процесс, у которого после взаимодействия волн сохраняются форма и скорость, напоминает упру­гое столкновение двух частиц. Поэтому Крускал и Забуски такие уединенные волны назвали солитонами (от англ. solitary- уединенный). Это специ­альное название уединенных волн, созвучное элек­трону, протону и многим другим элементарным частицам, в настоящее время общепринято.

Уединенные волны, которые были открыты Рас­селом, и в самом деле ведут себя как частицы. Боль­шая волна не проходит через малую при их взаимо­действии. Когда уединенные волны соприкасаются, то большая волна замедляется и уменьшается, а волна, которая была малой, наоборот, ускоряется и подрастает. И когда малая волна дорастает до разме­ров большой, а большая уменьшается до размеров малой, солитоны разделяются и больший уходит вперед. Таким образом, солитоны ведут себя как уп­ругие теннисные мячи.

Дадим определение солитона . Солитоном на­зывается нелинейная уединенная волна, которая сохраняет свою форму и скорость при собственном движении и столкновении с себе подобными уеди­ненными волнами, то есть представляет собой ус­тойчивое образование. Единственным результатом взаимодействия солитонов может быть некоторый сдвиг фаз.

Открытия, связанные с уравнением Кортевега - де Фриса, не закончились открытием солитона. Следующим важным шагом, имеющим отношение к этому замечательному уравнению, было создание нового метода решения нелинейных уравнений в частных производных. Хорошо известно, что най­ти решения нелинейных уравнений очень сложно. До 60-х годов нашего столетия считалось, что такие уравнения могут иметь только некоторые частные решения, удовлетворяющие специально заданным начальным условиям. Однако уравнение Кортевега-де Фриса и в этом случае оказалось в исключи­тельном положении.

В 1967 году американские физики К.С. Гарднер, Дж.М. Грин, М. Крускал и Р. Миура показали, что решение уравнения Кортевега-де Фриса может быть в принципе получено для всех начальных усло­вий, которые определенным образом обращаются в нуль при стремлении координаты к бесконечности. Они использовали преобразование уравнения Кортевега - де Фриса к системе двух уравнений, называ­емой теперь парой Лакса (по имени американского математика Питера Лакса, внесшего большой вклад в развитие теории солитонов), и открыли новый ме­тод решения ряда очень важных нелинейных урав­нений в частных производных. Этот метод получил название метода обратной задачи рассеяния, по­скольку в нем существенно используется решение задачи квантовой механики о восстановлении по­тенциала по данным рассеяния.

2.2. Групповой солитон

Выше мы говорили, что на практике волны, как правило, распространяются группами. Подобные группы волн на воде люди наблюдали с незапамят­ных времен. На вопрос о том, почему для волн на воде так типичны "стаи" волн, удалось ответить Т. Бенжамену и Дж. Фейеру только в 1967 году. Тео­ретическими расчетами они показали, что простая периодическая волна на глубокой воде неустойчива (теперь это явление называется неустойчивостью Бенжамена-Фейера), и поэтому волны на воде из-за неустойчивости разбиваются на группы. Уравнение, с помощью которого описывается распространение групп волн на воде, было получено В.Е. Захаровым в 1968 году. К тому времени это уравнение уже было известно в физике и носило название нелинейного уравнения Шрёдингера. В 1971 году В.Е. Захаров и А.Б. Шабат показали, что это нелинейное уравне­ние имеет решения также в виде солитонов, более того, нелинейное уравнение Шрёдингера, так же как и уравнение Кортевега-де Фриса, может быть проинтегрировано методом обратной задачи рассея­ния. Солитоны нелинейного уравнения Шрёдинге­ра отличаются от обсуждаемых выше солитонов Кортевега-де Фриса тем, что они соответствуют форме огибающей группы волн. Внешне они на­поминают модулированные радиоволны. Эти солитоны называются групповыми солитонами, а иногда солитонами огибающей. Это название от­ражает сохраняемость при взаимодействии огиба­ющей волнового пакета (аналог штриховой ли­нии, представленной на рис. 3), хотя сами волны под огибающей двигаются со скоростью, отличной от групповой. При этом форма огибающей описывается

Рис. 3. Пример группового солитона (штриховая линия)

зависимостью

a(x,t)=a 0 ch -1 ( )

где а а - амплитуда, а l - половина размера солитона. Обычно под огибающей солитона находится от 14 до 20 волн, причем средняя волна самая большая. С этим связан хорошо известный факт, что самая вы­сокая волна в группе на воде находится между седь­мой и десятой (девятый вал). Если в группе волн об­разовалось большее количество волн, то произойдет ее распад на несколько групп.

Нелинейное уравнение Шрёдингера, как и урав­нение Кортевега- де Фриса, также имеет широкую распространенность при описании волн в различ­ных областях физики. Это уравнение было предло­жено в 1926 году выдающимся австрийским физи­ком Э. Шрёдингером для анализа фундаментальных свойств квантовых систем и первоначально ис­пользовано при описании взаимодействия внут­риатомных частиц. Обобщенное или нелинейное уравнение Шрёдингера описывает совокупность явлений в физике волновых процессов. Например, оно используется для описания эффекта самофоку­сировки при воздействии мощного лазерного луча на нелинейную диэлектрическую среду и для опи­сания распространения нелинейных волн в плазме.

3. Постановка задачи

3.1. Описание модели.В настоящее время наблюдается значи­тельно возрастающий интерес к исследованию нелинейных волно­вых процессов в различных областях физики (например, в оптике, физике плазмы, радиофизике, гидродинамике и т.д.). Для изучения волн малой, но конечной амплитуды в дисперсионных средах в каче­стве модельного уравнения часто используют уравнение Кортевега-де Фриза (КдФ):

u t + ии х + b и ххх = 0 (3.1)

Уравнение КдФ было использовано для описания магнитозвуковых волн, распространяющихся строго поперек магнитного поля или под углами, близкими к

.

Основные предположения, которые делаются при выводе уравне­ния: 1) малая, но конечная амплитуда, 2) длина волны велика по сравнению с длиной дисперсии.

Компенсируя действие нелинейности, дисперсия дает возможность формироваться в дисперсионной среде стационарным волнам конеч­ной амплитуды - уединенным и периодическим. Уединенные волны для уравнения КдФ после работы стали называться солитонами . Периодические волны носят название кноидальных волн. Соот­ветствующие формулы для их описания даны в .

3.2. Постановка дифференциальной задачи.В работе иссле­дуется численное решение задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза с периодическими условиями по пространству в прямоуголь­нике Q T ={(t , x ):0< t < T , x Î [0, l ].

u t + ии х + b и ххх = 0 (3.2)

u(x,t)| x=0 =u(x,t)| x=l (3.3)

с начальным условием

u(x,t)| t=0 =u 0 (x) (3.4)

4. Свойства уравнения Кортевега - де Фриза

4.1. Краткий обзор результатов по уравнению КдФ.Задача Коши для уравнения КдФ при различных предположениях отно­сительно u 0 (х) рассматривалась во многих работах . Задача о существовании и единственности решения с условиями периодично­сти в качестве краевых условий была решена в работе с помощью метода конечных разностей. Позже, при менее сильных предположе­ниях, существование и единственность были доказана в статье в пространстве L ¥ (0,T,H s (R 1)), где s>3/2, а в случае периодической задачи - в пространстве L ¥ (0,T,H ¥ (C))где С - окружность дли­ны, равной периоду, на русском языке эти результаты представлены в книге .

СОЛИТОН

СОЛИТОН

Структурно устойчивая уединённая волна в нелинейной диспергирующей среде. С. ведут себя подобно ч-цам: при вз-ствии между собой или с нек-рыми др. возмущениями С. не разрушаются, а расходятся вновь, сохраняя свою структуру неизменной. Структура С. поддерживается стационарной за счёт баланса между действием нелинейности среды (см. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ) и дисперсии (см. ДИСПЕРСИЯ ВОЛН). Напр., в случае гравитац. волн на поверхности жидкости для достаточно длинной плоской (l->2pH, где Н - глубина водоёма) дисперсия отсутствует, волны распространяются с фазовой скоростью v=?(g(H+h)), где g- , h - возвышение поверхности воды в данной точке профиля волны. Вершина волны движется быстрее её подножия (нелинейность), поэтому крутизна фронта волны растёт до тех пор, пока протяжённость фронта не станет соизмеримой с величиной 2pН, после чего v будет зависеть от крутизны фронта (дисперсия). В результате на профиле волны появляются (рис. 1), развитие к-рых приводит к образованию С.

Рис. 1. Эволюция профиля волны на поверхности водоёма глубины Н.

Рис. 5. Связанная пара солитонов.

В системах с сильной дисперсией, если профиль стационарной волны близок к синусоидальному, также возможно существование модулир. волн в виде локализованных волн. пакетов со стационарно движущейся огибающей, к-рые также обнаруживают «частицеподобное» поведение при вз-ствии (С. «огибающей»). Такие С. возможны для волн на поверхности глубокого водоёма, ленгмюровских волн в плазме, мощных коротких (пикосекундных) световых импульсов в рабочей среде лазера и т. д.

С. играют важную роль в теории конденсир. состояния в-ва, в частности в квант. статистике, теории фазовых переходов. Солитонные решения имеют нек-рые ур-ния, предложенные для описания элем. ч-ц. Изучение св-в С. как «частицеподобных» волн, в т. ч. и возможных трёхмерных С., в к-рых убывает по всем направлениям в трёхмерном пр-ве (а не только по одной координате, как в приведённых выше примерах), привело к попыткам использовать С. при построении квант. нелинейной теории поля.

Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1983 .

СОЛИТОН

(от лат. solus - один) - локализованное стационарноеили стационарное в среднем возмущение однородной или пространственно-периодич. С. характеризуется следующими свойствами: локализован в конечной области;распространяется без деформации, перенося энергию, момент импульса;сохраняет свою структуру при взаимодействии с др. такими же С.; может образовыватьсвязанные состояния, ансамбли. Профиль (форма) С. определяется в нелинейнойсреде двумя конкурирующими процессами: расплыванием волны из-за дисперсиисреды и «опрокидыванием» нарастающего волнового фронта из-за нелинейности.

До нач. 1960-х гг. С. называли уединённую волну - неизменнойформы, распространяющийся с пост. скоростью по поверхности тяжёлой жидкостиконечной глубины и в плазме. Ныне под определение С. попадает множестворазнообразных физ. объектов. Первая классификация С. может быть сделанапо числу пространственных измерений, вдоль к-рых происходит локализациястационарного возмущения нелинейной среды. К одномерным С. относятся классич. 2p -импульсы и огибающей в нелинейной оптике (см. Солитоны оптические), локализов. коллективной проводимости в молекулахорганич. полупроводников и в одномерных металлах (см. Волны зарядовойплотности), С. (кванты магн. потока) в джозефсоновских контактах всверхпроводниках (см. Джозефсона эффект )и т. д. К двумерным С. дислокации в кристаллич. решётке, дисклинации в жидкихкристаллах, вихревые структуры в тонком слое сверхтекучей жидкости, Сверхтекучесть), магн. трубки (вихри Абрикосова) в сверхпроводниках 2-го рода (см. Сверхпроводимость), антициклональные области в геофиз. гидродинамике, в т. ч. «Большоекрасное пятно» на Юпитере, каналы самофокусировки в нелинейной оптике. Солитон в квантовой теории поля), чёрные дыры втеории гравитации. В квантовой теории поля рассматривают С., локализованныев четырёхмерном пространстве-времени,- инстантоны.

Математически С. представляют собой локализованные стационарные решениянелинейных дифференциальных уравнений в частных производных или их обобщений(дифференциально-разностных, интегро-дифференциальных и т. п. ур-ний).Во мн. случаях разл. физ. ситуации и явления описываются одними и темиже ур-ниями, напр. Кортевега - де Фриса уравнением, синус-Гордона уравнением, - Петвиашвили уравнением. Линейные ур-ния (кроме одномерного волнового ур-ния) не имеют локализованныхстационарных решений. С. представляют собой существенно нелинейные объекты, топологическимзарядом, т. е. если конфигурация волнового поля в присутствии С. топологическиотлична от конфигурации невозмущённого состояния. Значит. часть ур-ний, обратной задачи рассеяния метод, большинство из них являются интегрируемымигамильтоновыми системами.

Одномерные солитоны. Уединённая волна на поверхности жидкости конечнойглубины впервые наблюдалась в 1834 Дж. С. Расселлом (J. S. Russell). Матем.

Здесь Н - невозмущённая глубина жидкости,- скорость длинных волн малой амплитуды, x 0 - положениецентра С., бесстолкновительных ударных волн в плазме, возникающих, Моделируя на поведение цепочки атомов, связанных нелинейными упругимисилами и описываемых ур-ниями движения

где л - номер атома в цепочке, Э. Ферми (Е. Fermi), Дж. Паста (J. Pasta) иС. Улам (S. Ulam) в 1954 обнаружили аномально медленную стохастизацию вэтой системе. Система не термализовалась (в ней не устанавливалось термодинамич.

выведенное в 1895 для описания эволюции волнового пакета на поверхностижидхости малой глубины. Ур-ние КдФ является универсальным ур-нием, описывающимодномерные или квазиодномерные среды, в к-рых конкурируют слабая квадратичнаянелинейность [член 6 ии х вур-нии (3)] и слабаялинейная дисперсия [член и ххх в ур-нии (3)].Оказалось, что оно описывает также и колебат. поведение цепочки атомов,

В зависимости от соотношения указанных выше двух факторов система переходитиз одного состояния в другое, а в случае их взаимной компенсации возникаетС.

Из численного решения ур-ния (3) [Н. Забуски (N. Zabusky) и М. Крускал(М. Kruskal), 1964] следует, что С. обладают значит. устойчивостью и пристолкновениях рассеиваются упруго, сохраняя свою форму и амплитуду. Анализируяэто явление, М. Крускал, Дж. Грин (G. Green), Ч. Гарднер (С. Gardner) иР. Миура (R. Miura) открыли в 1967 фундам. метод обратной задачи рассеяния, :

Ур-ние (5) представляет собой стационарное ур-ние Шрёдингера с потенциалом- u(x,t). Если удовлетворяет ур-нию КдФ (3), то дискретныесобств. значения ур-ния Шрёдингера не зависят от времени и непосредственносвязаны с С. Если ур-ние (5) имеет N дискретных собств. значений , то при будут присутствовать N С. вида (4) с параметрами .В общем случае в решении содержится также осциллирующая «несолитонная часть».Решение ур-ния (5), определённое методом обратной задачи рассеяния, имеетвид:

В чисто солитонном случае

N-солитонное решение описывает рассеяние N С. друг на друге. парном столкновении С. с амплитудами С. приобретают сдвиги

т. е. быстрый С. приобретает положительный, а медленный - отрицательныйсдвиги. При взаимодействии N С. полный каждого С. равен алгебраич. взаимодействие нерелятивистских частиц, между к-рыми действуют парныесилы отталкивания. Напр., для двух С. (4) с одинаковыми амплитудами ,разделённых расстоянием L, много большим характерного размера С., потенциал силы отталкивания

Типичная картина возникновения С. в океане, сфотографированная из космоса, изображенана рис.: чётко видны пять полос (солитонов), перемещающихся снизу справавверх налево.

Шрёдингера нелинейное ур-ние для комплексной ф-ции u(x,t )

является одним из осн. ур-ний нелинейной физики, описывающим эволюциюоптич. волн в нелинейных кристаллах, ленгмюровских волн в плазме, тепловыхволн в твёрдых телах и др. При распространении одномерных квазигармонич. и хх)и линейной дисперсии (член ) происходит самомодуляция - возникают волны огибающей. В случае равновесиянелинейного самосжатия и дисперсионного расплывания появляются С. огибающей.

Здесь и v - амплитуда и скорость С. [в отличие от С. (4), эти параметрыявляются взаимно независимыми], Ф 0 и х 0 описывают фазу и положение С. в нач. момент.

В. Е. Захаров и А. Б. Шабат показали (1971), что ур-ние (7) также являетсяточно интегрируемым в рамках метода обратной задачи рассеяния с помощьювспомогат. переопределённой системы линейных ур-ний типа (5), (6) для многокомпонентной(векторной) ф-ции . Следствием точной интегрируемости является наличие точных многосолитонныхрешений. Как и в случае ур-ния КдФ, эти решения описывают чисто упругиестолкновения С. с сохранением формы, амплитуды и скорости. Единств. следствиемстолкновения являются фазовые сдвиги - изменения параметров Ф 0 и х 0 .

Одномерное ур-ние синус-Гордона. Точно интегрируемым с помощью вспомогат.

Это ур-ние встречается во мн. физ. задачах, в к-рых ангармонич. потенциалнелинейного самовоздействия волнового поля периодичен по полевой переменной Ф(х,t). Примерами являются в джозефсоновских переходах, волны зарядовой плотности в одномерных металлах, нелинейные волнынамагниченности в легко плоскостных и слабых ферромагнетиках и т. д.

Ур-ние (9) имеет солитонные решения двух разл. типов: т. н. кинки ибризеры. К и н к

представляет собой уединённую волну, обладающую топологич. зарядом , движущуюся со скоростью v (v 2 < 1). Кинк имеет смыслт. н. флаксона - кванта магн. потока в теории длинных джозефсоновских переходов, x 0 , характеризующих положение кинков в нач. v 1 ,v 2 (v 1 v 2)фазовыесдвиги равны:

Видно, что фазовые сдвиги не зависят от топологич. зарядов кинков.

Как и для С., описываемых ур-ниями (3) и (7), полный фазовый сдвиг любогокинка при рассеянии на совокупности остальных кинков в точности равен суммесдвигов, порождённых его столкновениями с каждым из остальных кинков поотдельности.

Наглядно два кинка, разделённых расстоянием L, много большим их характерныхразмеров ~ (1 - v 2) -1/2 , можно представлять как дверелятивистские частицы, взаимодействующие с потенциалом

Т. о., кинки с одинаковыми зарядами отталкиваются, с противоположными - притягиваются.

Пара кинков с противоположным зарядом может образовать связанное осциллирующеесостояние - т. н. б р и з е р, представляющий собой 2-й тип точного солитонногорешения ур-ния (9):

[движущийся бризер может быть получен из (11) преобразованием Лоренца].Параметр ,изменяющийся в пределах , характеризует энергию связи бризера, определённую разность энергий пары удалённых покоящихся (v= 0) кинков (10) и энергии бризера (11):. Столкновения бризеров друг с другом и с кинками также являются чистоупругими и сопровождаются аддитивными фазовыми сдвигами. В реальных системахбризер не наблюдается вследствие диссипации.

В пределе Ф 2 1 подстановка

преобразует ур-ние (9) в нелинейное ур-ние Шрёдингера (7) (с верх. знаком).При этом бризер (11) (при ) преобразуется в покоящийся С. (8) с амплитудой

Многомерные солитоны. Двумерный С. является решением точно интегрируемогоур-ния Кадомцева - Петвиашвили

описывающего ионно-звуковые волны в плазме, на поверхности«мелкой» жидкости и т. д. Точное решение ур-ния (12)

содержащее произвольный комплексный параметр v, описывает устойчивыйдвумерный С. (т. н. л а м п), движущийся со скоростью и = (v x ,Vy),, . При решение. (13) убывает как ( х 2 + y 2 ) -1 ,т. е., в отличие от одномерных С. (4), (8), (10), (11), характеризующихсяэкспоненциальным спадом профиля при ,двумерный С. (13) имеет степенную асимптотику. Столкновения любого числалампов (13) являются чисто упругими, причём, в отличие от одномерных С.,фазовые сдвиги тождественно равны нулю.

Понятие С. можно обобщить и на случай неинтегрируемых нелинейных волновыхур-ний. Сюда можно отнести почти интегрируемые с и с т е м ы, отличающиесяот универсальных интегрируемых ур-ний малыми возмущающими членами, чтоимеет место в реальных физ. системах. Теория возмущений для почти интегрируемыхсистем также основана на методе обратной задачи рассеяния [Д. Кауп (D.Каир), 1976; В. И. Карпман и Е. М. Маслов, 1977]. В почти интегрируемыхсистемах С. более богата; в частности, малые возмущения могутпорождать неупругие взаимодействия С. и многосолитонные эффекты, отсутствующиев точно интегрируемом случае.

В системах, далёких от точно интегрируемых, взаимодействия С. оказываютсяглубоко неупругими. Так, неинтегрируемое релятивистски инвариантное волновоеур-ние

описывающее, напр., динамику параметра порядка при фазовых переходахтипа смещения в сегнетоэлектриках, имеет точное устойчивое решение типакинка: