План урока на тему "Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства
Описание материала : предлагаю вам конспект урока для старшеклассников по теме: «Первообразная и Интеграл». Данный материал будет полезен педагогам, при обобщении и систематизации знаний, полученных при изучении данного раздела и поможет расширить представления учащихся о практическом значении данной темы.
Тема: «Первообразная и интеграл»
Тип: урок обобщения и систематизации знаний.
Форма: игра
Цели:
дидактические:
· формирование учебно-познавательной и информационной компетенций, посредством обобщения, систематизации знаний по теме «Первообразная. Интеграл», формирования навыков нахождения площади криволинейной трапеции несколькими способами.
развивающие:
· формирование информационной, общекультурной компетенций через развитие познавательной активности, интереса к предмету, творческих способностей учащихся, расширение кругозора, развитие математической речи.
воспитательные:
· формирование коммуникативной компетенции и компетенции личностного самосовершенствования, посредством работы над коммуникативными навыками, умением работать в сотрудничестве, над воспитанием таких личностных качеств, как организованность, дисциплинированность.
Средства обучения:
Технические : ПК, проектор, экран.
Ход урока
Подготовительный этап : группа заранее делится на две команды.
I. Организационный момент
Здравствуйте, ребята! Я рада приветствовать вас на уроке. Цель нашего урока - обобщить, систематизировать знания по теме « Первообразная и интеграл», подготовиться к предстоящему зачету.
Девиз нашей работы: «Исследуй всё, пусть для тебя на первом месте будет разум» - эти слова принадлежат древнегреческому ученому Пифагору. (слайд)
Мы совершим необычное восхождение на вершину «Пика знаний».
Первенство будут оспаривать две группы. У каждой группы свой инструктор, который оценивает коэффициент участия каждого «туриста» в нашем восхождении.
Группа, которая первой достигнет вершины «Пика знаний», станет победителем.
Тип урока: обобщающий.
Задачи:
Обучающие
: систематизировать, расширить и углубить знания по данной теме.
Развивающие
: способствовать развитию умения сравнивать, обобщать, классифицировать, анализировать, делать выводы.
Воспитывающие
: побуждать учащихся само- и взаимоконтролю, воспитывать познавательную активность, самостоятельность, упорство в достижении цели.
Ход урока
І. Организационный момент
Основная и оперативная разминки, скоростной тренажер (элементы технологии Вассермана)
ІІ. Повторение
Учащиеся в парах повторяют теорию по теме и отвечают друг другу на вопросы (приложения 1). Правильный ответ оценивается в один балл.
III. Проверка домашнего задания
Учащиеся в парах обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку. 5 ребят заранее заготавливают по одному примеру на карточках для интерактивной доски из домашнего задания и комментируют их решение.
IV. Аукцион задач
1. Вычислить обьем конуса площадь основания которого равна Р, а высота h.
2. Каую работа надо совершить для того чтобы растянуть пружину на 25 см.
3. Каую работу требуется выполнить чтобы с помощью ракеты тело массой m поднять на высоту h
4. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, прямыми х=0, х=π и графиком функции у=sin х
5. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями: у=-х², у=0, х=-2
V. Самостоятельная работа
К каждой задаче даны четыре ответа, только один из которых верен. Учащийся должен в специальном бланке поставить номер своего варианта и зачеркнуть номер выбранного им ответа по каждому заданию.
Учитель использует шаблон с отверстиями (отверстия заштрихованны), накладывая который на бланке учащихся устанавливает правильность решения каждой из 4-х задач.
Задание самостоятельной работы в 4-х вариантах в каждом варианте по 4 задачи:
VI. Математическая эстафета
Работа в командах. На последней парте каждого ряда находится листок с 10 заданиями (по два вопроса на каждую парту). Первая пара учащихся, выполнив любые два задания, передает листок впереди сидящим. Работа считается оконченной, когда учитель получается листок с правильно выполненными 10 заданиями. (Приложение 2)
Побеждает та команда, которая раньше всех решит все задания.
VІI. Из истории
Группа учащихся выступают сообщениями о происхождении терминов и обозначений по теме «Первообразная. Интеграл», из истории интегрального исчисления, о математиках, сделавших открытия по данной теме.
VІІІ. Рефлексия
Что усвоили в этой главе?
Чему научились?
Что получили?
1. Мы недавно проходили тему «Производные некоторых элементарных функции». Например:
Производная функции f(х)=х 9 , мы знаем что f′(х)=9х 8 . Теперь мы рассмотрим пример нахождения функции, производная которой известна.
Допустим дана производная f′(х)=6х 5 . Используя знания о производной мы можем определить что это производная функции f(х)=х 6 . Функцию которую можно определить по ее производной называют первообразной.(Дать определение первообразной. (слайд 3))
Определение 1 : Функция F(x)называется первообразной для функции f(x) на отрезке , есливо всех точках этого отрезка выполняется равенство = f(x)
Пример 1 (слайд 4): Докажем что для любого хϵ(-∞;+∞) функция F(x)=х 5 -5х является первообразной для функции f(х)=5х 4 -5.
Доказательство: Используя определение первообразной, найдем производную функции
=( х 5 -5х)′=(х 5 )′-(5х)′=5х 4 -5.
Пример 2 (слайд 5): Докажем что для любого хϵ(-∞;+∞) функция F(x)= неявляется первообразной для функции f(х)= .
Доказать вместе со студентами на доске.
Мы знаем что нахождение производной называют дифференцированием . Нахождение функции по ее производной будем называть интегрированием. (Слайд 6). Целью интегрирования является нахождение всех первообразных данной функции.
Например: (слайд 7)
Основное свойство первообразной:
Теорема: Если F(x)- одна из первообразных для функцииf(х) на промежутке Х, то множество всех первообразных этой функции определяется формулой G(x)=F(x)+C, где С действительное число.
(Слайд 8) таблица первообразных
Три правила нахождения первообразных
Правило №1: Если F есть первообразная для функции f, а G – первообразная для g, то F+G – есть первообразная для f+g.
(F(x) + G(x))’ = F’(x) + G’(x) = f + g
Правило №2: Если F – первообразная для f, а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf.
(kF)’ = kF’ = kf
Правило №3: Если F – первообразная для f, а k и b– постоянные (), то функция
Первообразная для f(kx+b).
История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачами, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей.Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении таких задач связаны с применением метода исчерпывания, предложенным ЕвдоксомКнидским. С помощью этого метода Евдокс доказал:
1. Площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров.
2. Объём конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же высоту и основание.
Метод Евдоксабыл усовершенствован Архимедом и были доказаны такие вещи:
1. Вывод формулы площади круга.
2. Объем шара равен 2/3 объема цилиндра.
Все достижения были доказаны великими математиками с применением интегралов.
11 класс Орлова Е.В.
«Первообразная и неопределённый интеграл»
СЛАЙД 1
Цели урока:
Образовательные : сформировать и закрепить понятие первообразной, находить первообразные функции разного уровня.
Развивающая: развивать мыслительную деятельность учащихся, основанную на операциях анализа, сравнениях, обобщения, систематизации.
Воспитательная: формировать мировоззренческие взгляды учащихся, воспитывать от ответственности за полученный результат, чувство успеха.
Тип урока: изучение нового материала.
Оборудование: компьютер, мультимедийная доска.
Ожидаемые результаты обучения: ученик должен
определение производной
первообразная определяется неоднозначно.
находить первообразные функции в простейших случаях
проверять, является ли первообразная для функции на данном промежутке времени.
Ход урока
Организационный момент СЛАЙД 2
Проверка домашнего задания
Сообщение темы, цели урока, задач и мотивации учебной деятельности.
На доске записи:
Производная –производит « на свет новую функцию».
Первообразная – «первичный образ».
4. Актуализация знаний, систематизация знаний в сравнении .
Дифференцирование-отыскание производной.
Интегрирование - по заданной производной восстановление функции.
Знакомство с новыми символами:
5.Устные упражнения: СЛАЙД 3
вместо точек поставьте какую-нибудь функцию, удовлетворяющую равенству.
выполняется самопроверка учащимися.
корректировка знаний учащихся.
5. Изучение нового материала.
А) Взаимно-обратные операции в математике.
Учитель: в математике существуют 2 взаимно-обратные операции в математике. Рассмотрим в сравнении. СЛАЙД 4
Б) Взаимно-обратные операции в физике.
Рассматриваются две взаимно-обратные задачи в разделе механике.
Нахождение скорости по заданному уравнению движения материальной точки(нахождение производной функции) и нахождение уравнения траектория движения по известной формуле скорости.
В) Вводится определение первообразной, неопределённого интеграла
СЛАЙД 5, 6
Учитель: чтобы задача стала более определенной, нам надо зафиксировать исходную ситуацию.
Г) Таблица первообразных СЛАЙД 7
Задания на формирование умения находить первообразную – работа в группах СЛАЙД 8
Задания на формирование умения доказывать, что первообразная является для функции на заданном промежутке – парная работа.
6.Физминутка СЛАЙД 9
7. Первичное осмысление и применение изученного. СЛАЙД 10
8. Постановка домашнего задания СЛАЙД 11
9. Подведение итогов урока. СЛАЙД 12
В ходе фронтального опроса вместе с учащимися подводятся итоги урока, осознанное осмысление понятие нового материала, можно виде смайликов.
Все понял(а), все успел(а).
частично не понял(а), не все успел(а).
Класс: 11
Презентация к уроку
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Технологическая карта урока алгебры 11 класс.
«Свои способности человек может узнать, только попытавшись приложить их».
Сенека Младший
.
Количество часов по разделу: 10 часов.
Тема блока: Первообразная и неопределенный интеграл.
Ведущая тема урока: формирование знаний и обще учебных умений через систему типовых, приближенных и разно - уровненных заданий.
Цели урока:
- Образовательные : сформировать и закрепить понятие первообразной, находить первообразные функции разного уровня.
- Развивающая: развивать мыслительную деятельность учащихся, основанную на операциях анализа, сравнениях, обобщения, систематизации.
- Воспитательная: формировать мировоззренческие взгляды учащихся, воспитывать от ответственности за полученный результат, чувство успеха.
Тип урока: изучение нового материала.
Методы обучения: словесный, словесно – наглядный, проблемный, эвристический.
Формы обучения: индивидуальная, парная, групповая, обще-классная.
Средства обучения: информационные, компьютерные, эпиграф, раздаточный материал.
Ожидаемые результаты обучения: ученик должен
- определение производной
- первообразная определяется неоднозначно.
- находить первообразные функции в простейших случаях
- проверять, является ли первообразная для функции на данном промежутке времени.
СТРУКТУРА УРОКА:
- Постановка цели урока(2 мин)
- Подготовка к изучению нового материалов(3 мин)
- Ознакомление с новым материалом(25 мин)
- Первичное осмысление и применение изученного (10 мин)
- Постановка домашнего задания(2 мин)
- Подведение итогов урока(3 мин)
- Резервные задания.
Ход урока
1. Сообщение темы, цели урока, задач и мотивации учебной деятельности.
На доске записи:
***Производная –« производит « на свет новую функцию. Первообразная - первичный образ.
2. Актуализация знаний, систематизация знаний в сравнении.
Дифференцирование-отыскание производной.
Интегрирование - по заданной производной восстановление функции.
Знакомство с новыми символами:
* устные упражнения: вместо точек поставьте какую-нибудь функцию, удовлетворяющую равенству.(см. презентацию) –индивидуальная работа.
(в это время 1 ученик записывает на доске формулы дифференцирования, 2 ученик -правила дифференцирования).
- выполняется самопроверка учащимися.(индивидуальная работа)
- корректировка знаний учащихся.
3. Изучение нового материала.
А) Взаимно-обратные операции в математике.
Учитель: в математике существуют 2 взаимно-обратные операции в математике. Рассмотрим в сравнении.
Б) Взаимно-обратные операции в физике.
Рассматриваются две взаимно-обратные задачи в разделе механике. Нахождение скорости по заданному уравнению движения материальной точки(нахождение производной функции) и нахождение уравнения траектория движения по известной формуле скорости.
Пример 1 страница 140 – работа с учебником(индивидуальная работа).
Процесс отыскания производной по заданной функции называют дифференцированием, а обратную операцию т.е процесс отыскания функции по заданной производной- интегрированием.
В) Вводится определение первообразной.
Учитель: чтобы задача стала более определенной, нам надо зафиксировать исходную ситуацию.
Задания на формирование умения находить первообразную – работа в группах. (смотри презентацию)
Задания на формирование умения доказывать, что первообразная является для функции на заданном промежутке – парная работа. (смотри презентацию)..
4. Первичное осмысление и применение изученного.
Примеры с решениями» Найти ошибку» - индивидуальная работа.(смотри презентацию)
***выполнение взаимопроверки.
Вывод: при выполнении этих заданий легко заметить, что первообразная определяется неоднозначно.
5. Постановка домашнего задания
Прочитать объяснительный текст глава 4 параграф 20, выучить наизусть определение 1.первообразной, решить № 20.1 -20.5 (в,г)-обязательное задание для всех № 20.6 (б), 20.7 (в,г), 20.8 (б), 20.9 (б)- 4 примера по выбору.
6. Подведение итогов урока.
В ходе фронтального опроса вместе с учащимися подводятся итоги урока, осознанное осмысление понятие нового материала, можно виде смайликов.
Все понял(а), все успел(а).
Частично не понял(а), не все успел(а).
7. Резервные задания.
В случае досрочного выполнение всем классом предложенных выше заданий для обеспечения занятости и развития наиболее подготовленных учащихся планируется использовать также задачи № 20.6(а), 20.7 (а), 20.9(а)
Литература:
- А.Г. Мордкович, П.В. Семенов, Алгебра анализа, профильный уровень, часть 1, часть 2 задачник, Манвелов С. Г. «Основы творческой разработки урока».