Определение 1. Система векторов называется линейно зависимой, если один из векторов системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов системы, и линейно независимой - в противном случае.

Определение 1´. Система векторов называется линейно зависимой, если найдутся числа с 1 , с 2 , …, с k , не все равные нулю, такие, что линейная комбинация векторов с данными коэффициентами равна нулевому вектору: = , в противном случае система называется линейно независимой.

Покажем, что эти определения эквивалентны.

Пусть выполняется определение 1, т.е. один из векторов системы равен линейной комбинации остальных:

Линейная комбинация системы векторов равна нулевому вектору, причем не все коэффициенты этой комбинации равны нулю, т.е. выполняется определение 1´.

Пусть выполняется определение 1´. Линейная комбинация системы векторов равна , причем не все коэффициенты комбинации равны нулю, например, коэффициенты при векторе .

Один из векторов системы мы представили в виде линейной комбинации остальных, т.е. выполняется определение 1.

Определение 2. Единичным вектором, или ортом, называется n-мерный вектор , у которого i -я координата равна единице, а остальные - нулевые.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Теорема 1. Различные единичные векторы n -мерного пространства линейно независимы.

Доказательство. Пусть линейная комбинация этих векторов с произвольными коэффициентами равна нулевому вектору.

Из этого равенства следует, что все коэффициенты равны нулю. Получили противоречие.

Каждый вектор n -мерного пространства ā (а 1 , а 2 , ..., а n ) может быть представлен в виде линейной комбинации единичных векторов с коэффициентами, равными координатам вектора

Теорема 2. Если системы векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Доказательство. Пусть дана система векторов и один из векторов является нулевым, например = . Тогда с векторами данной системы можно составить линейную комбинацию, равную нулевому вектору, причем не все коэффициенты будут нулевыми:

Следовательно, система линейно зависима.

Теорема 3. Если некоторая подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Доказательство. Дана система векторов . Предположим, что система линейно зависима, т.е. найдутся числа с 1 , с 2 , …, с r , не все равные нулю, такие, что = . Тогда

Получилось, что линейная комбинация векторов всей системы равна , причем не все коэффициенты этой комбинации равны нулю. Следовательно, система векторов линейно зависима.

Следствие. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема также линейно независима.

Доказательство.

Предположим противное, т.е. некоторая подсистема линейно зависима. Из теоремы следует, что вся система линейно зависима. Мы пришли к противоречию.

Теорема 4 (теорема Штейница). Если каждый из векторов является линейной комбинацией векторов и m >n , то система векторов линейно зависима.

Следствие. В любой системе n -мерных векторов не может быть больше чем n линейно независимых.

Доказательство. Каждый n -мерный вектор выражается в виде линейной комбинации n единичных векторов. Поэтому, если система содержит m векторов и m >n , то, по теореме, данная система линейно зависима.

3.3. Линейная независимость векторов. Базис.

Линейной комбинацией системы векторов

называется вектор

где a 1 , a 2 , ..., a n - произвольные числа.

Если все a i = 0, то линейная комбинация называется тривиальной . В этом случае, очевидно,

Определение 5.

Если для системы векторов существует нетривиальная линейная комбинация (хотя бы одно a i ¹ 0) равная нулевому вектору: то система векторов называется линейно зависимой . Если равенство (1) возможно только в случае, когда все a i =0, то система векторов называется линейно независимой .

Теорема 2 (Условия линейной зависимости).

Определение 6.

Из теоремы 3 следует, что если в пространстве задан базис то добавив к нему произвольный вектор , получим линейно зависимую систему векторов. В соответствии с теоремой 2 (1) , один из них (можно показать, что вектор ) можно представить в виде линейной комбинации остальных:

.

Определение 7.

Числа называются координатами вектора в базисе (обозначается

Если векторы рассматриваются на плоскости, то базисом будет упорядоченная пара неколлинеарных векторов

и координатами вектора в этом базисе – пара чисел:

Замечание 3 . Можно показать, что при заданном базисе координаты вектора определяются однозначно . Из этого, в частности, следует, что если векторы равны, то равны их соответствующие координаты, и наоборот .

Таким образом, если в пространстве задан базис, то каждому вектору пространства соответствует упорядоченная тройка чисел (координаты вектора в этом базисе) и наоборот: каждой тройке чисел соответствует вектор.

На плоскости аналогичное соответствие устанавливается между векторами и парами чисел.

Теорема 4 (Линейные операции через координаты векторов).

Если в некотором базисе и a – произвольное число, то в этом базисе

Иными словами:

при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число ;

при сложении векторов складываются их соответствующие координаты .

Пример 1 . В некотором базисе векторы имеют координаты

Показать, что векторы образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

Векторы образуют базис, если они некомпланарны, следовательно (в соответствии с теоремой 3(2) ) линейно независимы.

По определению 5 это означает, что равенство

возможно только в случае, когда x = y = z = 0.

Следующие дают несколько критериев линейной зависимости и соответственно линейной независимости систем векторов.

Теорема. (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов.)

Система векторов является зависимой тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через другие этой системы.

Доказательство. Необходимость. Пусть система линейно зависимая. Тогда, по определению, она представляет нулевой вектор нетривиально, т.е. существует нетривиальная комбинация данной системы векторов равная нулевому вектору:

где хотя бы один из коэффициентов этой линейной комбинации не равен нулю. Пусть , .

Разделим обе части предыдущего равенства на этот ненулевой коэффициент (т.е. умножим на :

Обозначим: , где .

т.е. один из векторов системы линейно выражается через другие этой системы, ч.т.д.

Достаточность. Пусть один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы:

Перенесем вектор в правую этого равенства:

Так как коэффициент при векторе равен , то мы имеем нетривиальное представление нуля системой векторов , что означает, что эта система векторов является линейно зависимой, ч.т.д.

Теорема доказана.

Следствие.

1. Система векторов векторного пространства является линейно независимой тогда и только тогда, когда ни один из векторов системы линейно не выражается через другие вектора этой системы.

2. Система векторов, содержащая нулевой вектор или два равных вектора, является линейно зависимой.

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть система линейно независимая. Допустим противное и существует вектор системы линейно выражающийся через другие вектора этой системы. Тогда по теореме система является линейно зависимой и мы приходим к противоречию.

Достаточность. Пусть ни один из векторов системы не выражается через другие. Допустим противное. Пусть система линейно зависимая, но тогда из теоремы следует, что существует вектор системы линейно выражающийся через другие векторы этой системы и мы опять приходим к противоречию.

2а) Пусть система содержит нулевой вектор. Допустим для определенности, что вектор :. Тогда очевидно равенство

т.е. один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы. Из теоремы следует, что такая система векторов является линейно зависимой, ч.т.д.

Заметим, что этот факт можно доказать непосредственно из линейно зависимой системы векторов.

Так как , то следующее равенство очевидно

Это нетривиальное представление нулевого вектора, а значит система является линейно зависимой.

2б) Пусть система имеет два равных вектора. Пусть для . Тогда очевидно равенство

Т.е. первый вектор линейно выражается через остальные векторы этой же системы. Из теоремы следует, что данная система линейно зависимая, ч.т.д.

Аналогично предыдущему это утверждение можно доказать и непосредственно определения линейно зависимой системы.. Тогда эта система представляет нулевой вектор нетривиально

откуда следует линейная зависимость системы .

Теорема доказана.

Следствие. Система, состоящая из одного вектора является линейно независимой тогда и только тогда, когда этот вектор ненулевой.

Пусть L – линейное пространство над полем Р . Пусть А1, а2, … , аn (*) конечная система векторов из L . Вектор В = a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn (16) называется Линейной комбинацией векторов ( *), или говорят, что вектор В линейно выражается через систему векторов (*).

Определение 14. Система векторов (*) называется Линейно зависимой , тогда и только тогда, когда существует такой ненулевой набор коэффициентов a1, a2, … , an, что a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn = 0. Если же a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, то система (*) называется Линейно независимой.

Свойства линейной зависимости и независимости.

10. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Действительно, если в системе (*) вектор А1 = 0, То 1×0 + 0×А2 + … + 0 ×Аn = 0 .

20. Если система векторов содержит два пропорциональных вектора, то она линейно зависима.

Пусть А1 = L ×а2. Тогда 1×А1 –l×А2 + 0×А3 + … + 0×А N = 0.

30. Конечная система векторов (*) при n ³ 2 линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из её векторов является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.

Þ Пусть (*) линейно зависима. Тогда найдётся ненулевой набор коэффициентов a1, a2, … , an, при котором a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn = 0 . Не нарушая общности, можно считать, что a1 ¹ 0. Тогда существует и А1 = ×a2×А2 + … + ×an×А N. Итак, вектор А1 является линейной комбинацией остальных векторов.

Ü Пусть один из векторов (*) является линейной комбинацией остальных. Можно считать, что это первый вектор, т. е. А1 = B2А2 + … + bnА N, Отсюда (–1)×А1 + b2А2 + … + bnА N = 0 , т. е. (*) линейно зависима.

Замечание. Используя последнее свойство, можно дать определение линейной зависимости и независимости бесконечной системы векторов.

Определение 15. Система векторов А1, а2, … , аn , … (**) называется Линейно зависимой, Если хотя бы один её вектор является линейной комбинацией некоторого конечного числа остальных векторов. В противном случае система (**) называется Линейно независимой.

40. Конечная система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда ни один из её векторов нельзя линейно выразить через остальные её векторы.

50. Если система векторов линейно независима, то любая её подсистема тоже линейно независима.

60. Если некоторая подсистема данной системы векторов линейно зависима, то и вся система тоже линейно зависима.

Пусть даны две системы векторов А1, а2, … , аn , … (16) и В1, в2, … , вs, … (17). Если каждый вектор системы (16) можно представить в виде линейной комбинации конечного числа векторов системы (17), то говорят, что система (17) линейно выражается через систему (16).

Определение 16. Две системы векторов называются Эквивалентными , если каждая из них линейно выражается через другую.

Теорема 9 (основная теорема о линейной зависимости).

Пусть и – две конечные системы векторов из L . Если первая система линейно независима и линейно выражается через вторую, то N £ s.

Доказательство. Предположим, что N > S. По условию теоремы

(21)

Так как система линейно независима, то равенство (18) Û Х1=х2=…=х N= 0. Подставим сюда выражения векторов : …+=0 (19). Отсюда (20). Условия (18), (19) и (20), очевидно, эквивалентны. Но (18) выполняется только при Х1=х2=…=х N= 0. Найдём, когда верно равенство (20). Если все его коэффициенты равны нулю, то оно, очевидно, верно. Приравняв их нулю, получим систему (21). Так как эта система имеет нулевое , то она

совместна. Так как число уравнений больше числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений. Следовательно, у неё есть ненулевое Х10, х20, …, х N0 . При этих значениях равенство (18) будет верно, что противоречит тому, что система векторов линейно независима. Итак, наше предположение не верно. Следовательно, N £ s.

Следствие. Если две эквивалентные системы векторов конечны и линейно независимы, то они содержат одинаковое число векторов.

Определение 17. Система векторов называется Максимальной линейно независимой системой векторов Линейного пространства L , если она линейно независима, но при добавлении к ней любого вектора из L , не входящего в эту систему, она становится уже линейно зависимой.

Теорема 10. Любые две конечные максимальные линейно независимые системы векторов из L Содержат одинаковое число векторов.

Доказательство следует из того, что любые две максимальные линейно независимые системы векторов эквивалентны.

Легко доказать, что любую линейно независимую систему векторов пространства L можно дополнить до максимальной линейно независимой системы векторов этого пространства.

Примеры:

1. Во множестве всех коллинеарных геометрических векторов любая система, состоящая их одного ненулевого вектора, является максимальной линейно независимой.

2. Во множестве всех компланарных геометрических векторов любые два неколлинеарных вектора составляют максимальную линейно независимую систему.

3. Во множестве всех возможных геометрических векторов трёхмерного евклидова пространства любая система трёх некомпланарных векторов является максимальной линейно независимой.

4. Во множестве всех многочленов степени не выше N С действительными (комплексными) коэффициентами система многочленов 1, х, х2, … , хn Является максимальной линейно независимой.

5. Во множестве всех многочленов с действительными (комплексными) коэффициентами примерами максимальной линейно независимой системы являются

а) 1, х, х2, … , хn, … ;

б) 1, (1 – х ), (1 – х )2, … , (1 – х )N, …

6. Множество матриц размерности M ´ N является линейным пространством (проверьте это). Примером максимальной линейно независимой системы в этом пространстве является система матриц Е11 = , Е12 =, … , Е Mn = .

Пусть дана система векторов С1, с2, … , ср (*). Подсистема векторов из (*) называется Максимальной линейно независимой Подсистемой Системы ( *) , если она линейно независима, но при добавлении к ней любого другого вектора этой система она становится линейно зависимой. Если система (*) конечна, то любая её максимальная линейно независимая подсистема содержит одно и то же число векторов. (Доказательство проведите самостоятельно). Число векторов в максимальной линейно независимой подсистеме системы (*) называется Рангом Этой системы. Очевидно, эквивалентные системы векторов имеют одинаковые ранги.

Лемма 1 : Если в матрице размера n n хотя бы одна строка (столбец) равна нулю, то строки (столбцы) матрицы являются линейно зависимыми.

Доказательство: Пусть нулевой будет первая строка, тогда

где a 1 0 . Что и требовалось.

Определение: Матрица, у которой расположенные ниже главной диагонали элементы равны нулю, называется треугольной:

а ij = 0 , i>j.

Лемма 2: Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

Доказательство нетрудно провести индукцией по размерности матрицы.

Теорема о линейной независимости векторов.

а) Необходимость : линейно зависимы D=0 .

Доказательство: Пусть линейно зависимы, j= ,

то есть, существует a j , не все равные нулю, j= , что a 1 А 1 + a 2 А 2 + ... a n A n = , А j – столбцы матрицы А. Пусть, например, a n ¹0 .

Имеем a j * = a j / a n , j£ n-1a 1 * А 1 + a 2 * А 2 + ... a n -1 * A n -1 + A n = .

Заменим последний столбец матрицы А на

А n * = a 1 * А 1 + a 2 * А 2 + ... a n -1 A n -1 + A n = .

Согласно выше доказанному свойству определителя (он не изменится, если в матрице к любому столбцу прибавить другой, умноженный на число) определитель новой матрицы равен определителю исходной. Но в новой матрице один столбец нулевой, значит, разлагая определитель по этому столбцу, получим D=0, что и требовалось доказать.

б) Достаточность: Матрицу размера n n с линейно независимыми строками всегда можно привести к треугольному виду с помощью преобразований, не меняющих абсолютной величины определителя. При этом из независимости строк исходной матрицы следует неравенство нулю её определителя.

1. Если в матрице размера n n с линейно независимыми строками элемент а 11 равен нулю, то на первое место следует переставить столбец, у которого элемент а 1 j ¹ 0 . Согласно лемме 1 такой элемент найдется. Определитель преобразованной матрицы при этом может отличаться от определителя исходной матрицы только знаком.

2. От строк с номерами i>1 отнимем первую строку, умноженную на дробь a i 1 /a 11 . При этом в первом столбце строк с номерами i>1 получатся нулевые элементы.

3. Начнем вычислять определитель полученной матрицы разложением по первому столбцу. Посколькув нем все элементы, кроме первого, равны нулю,

D нов = a 11 нов (-1) 1+1 D 11 нов,

где d 11 нов – определитель матрицы меньшего размера.

Далее для вычисления определителя D 11 повторяем пункты 1, 2, 3 до тех пор, пока последний определитель не окажется определителем от матрицы размера 1 1. Поскольку п.1 меняет только знак определителя преобразуемой матрицы, а п.2 вообще не меняет величины определителя, то, с точностью до знака, в итоге получим определитель исходной матрицы. При этом, поскольку из-за линейной независимости строк исходной матрицы п.1 всегда выполним, все элементы главной диагонали получатся неравными нулю. Таким образом, итоговый определитель согласно изложенному алгоритму равен произведению ненулевых элементов, стоящих на главной диагонали. Поэтому и определитель исходной матрицы не равен нулю. Что и требовалось доказать.

Приложение 2