Многогранники, вписанные в сферу. Математика

Учитель математики средней школы №2,

города Талдыкоргана Н.Ю.Лозович

Открытый урок по геометрии

Тема урока: «Шар. Вписанные и описанные многогранники»

Цели урока:

- образовательная - обеспечить на уроке повторение, закрепление и проверку усвоения учащимися определений шара и сферы, и связанных с ними понятий (центр, радиусы, диаметры, диаметрально противоположные точки, касательные плоскости и прямые); понятий вписанного и описанного многогранников, знания теорем о сечении шара плоскостью (20.3), о симметрии шара (20.4), о касательной плоскости к шару (20.5), о пересечении двух сфер (20.6), о построении центра сферы описанной (вписанной) в правильную пирамиду и о построении центра сферы описанной около правильной призмы;

продолжить формирование умений самостоятельно применять всю совокупность этих знаний в вариативных ситуациях по образцу и нестандартных, требующих творческой деятельности;

воспитательная - воспитывать у учащихся ответственность за результаты учения, упорство в достижении цели, уверенность в своих силах, желание добиваться больших результатов, чувство прекрасного (красота геометрических форм, изящное, красивое решение задачи).

развивающая - развивать у учащихся: способность к конкретному и обобщенному мышлению, творческое и пространственное воображение; ассоциативность (способность опираться на разные связи: по сходству, аналогии, контрасту, причинно-следственные), умение логично и последовательно излагать свою мысль, потребность в учении и развитии, создать на уроке условия для проявления познавательной активности учащихся.

Тип урока

урок проверки и коррекции знаний и умений.

Методы обучения

Вступительная беседа (постановка цели урока, мотивация учебной деятельности учащихся, создание необходимой эмоционально - нравственной атмосферы, инструктаж учащихся по организации работы на уроке).

Фронтальный опрос (устная проверка знаний учащимися основных понятий, теорем, умений объяснять их сущность, аргументировать свои рассуждения).

Уровневая самостоятельная работа, исходящая из принципа постепенного нарастания уровня знаний и умений, т.е. от репродуктивного уровня до продуктивного и творческого. Сущность метода - постоянно контролируемая и поощряемая учителем индивидуальная самостоятельная работа учащихся.

Учебно-наглядные пособия

Стереометрические модели геометрических тел, плакаты, рисунки, дидактические карточки для индивидуальной самостоятельной работы.

Актуализация

а) Опорные знания.

Необходимо активизировать понятия: касательной к окружности, выпуклых многоугольников, вписанных в окружность и описанных около окружности, вычисление радиусов вписанных и описанных окружностей для правильных многоугольников из планиметрии; из курса 10-го класса определение симметрии относительно плоскости, понятие фигур, симметричных относительно точки, оси (прямой), плоскости.

б) Способы формирования мотивов, возбуждения интереса.

Во вступительной беседе обеспечить осознание цели учениками, вызнать их личное заинтересованное отношение к ее достижению, раскрыть значение цели для самих школьников, подчеркнуть значимость этой темы не только самой по себе, но и ее пропедевтический характер для изучения следующей темы, насытить урок материалом эмоционального характера (красота геометрических форм, мыльные пузыри, Земля и Луна); подчеркнуть уровневый характер самостоятельной работы: с одной стороны, таким образом будет обеспечен высокий научный уровень изучаемого материала, а с другой стороны - доступность, пера учащихся в то, что каждый из них имеет право на педагогическую поддержку («страховку») по выявлению, анализу реальных или потенциальных проблем ребенка, совместному проектированию возможного выхода из них; рейтинговая система оценки знаний является дополнительным стимулом для ребят.

в) Формы контроля за ходом работы, взаимоконтроля. Взаимоконтроль (обмен тетрадями) осуществляется после выполнения учащимися первой части 1-го (ученического) уровня самостоятельной работы - письменных ответов учеников на устные вопросы учителя (математический диктант).

После взаимообмена тетрадями вслух проговариваются все правильные ответы (по возможности используются наглядные пособия: модели стереометрических тел, рисунки, плакаты). Затем ребята приступают к рейтинговой оценке выполнения первой части самостоятельной работы: правильный полный ответ оценивается в 1 балл, если есть несущественные замечания, то - 0,5 балла, в Противном случае - 0 баллов. Количество набранных баллов каждым учеником фиксируется на доске учителем. После чего ребята приступают к работе по индивидуальным карточкам. Те, кто выполнил задания 1-го уровня и получил от учителя «добро», Переходят к выполнению задания следующего уровня. Успех решения Задачи не должен оставаться без внимания, поощрения, похвалы. Параллельно учитель проводит коррекционную работу: понимая сильные и слабые стороны ученика, помогает ему опереться на свои силы и дополняет его там, где школьник, как бы ни старался, объективно пока с чем-то справиться не может.

При проверке работы используется следующая система обозначений:

Задача не решена;

Задача не решена, но в работе есть некоторые разумные соображения;

Дан только ответ в задаче, где одного ответа явно недостаточно;

± - задача решена, но решение содержит мелкие пропуски и неточности;

Задача полностью решена;

+! – решение задачи содержит неожиданные яркие идеи.

Большое значение придается листу открытого учета деятельности ребят, который заполняется по мере выполнения самостоятельной работы.

	I уровень	II уровень	III уровень	IV уровень

Алипбаева А
Ахметкалиев А.

Таким образом обеспечиваются непременные условия оценивания знаний учащихся на уроках - объективность, оперативность, доброжелательность и гласность.

I уровень

Математический диктант.

1) I вариант. Каким свойством обладают все вершины вписанного в сферу многогранника?

II вариант. Каким свойством обладает каждая грань вписанного в сферу многогранника?

2) I вариант. Если около какого-то многогранника можно описать сферу, то как построить ее центр?

II вариант. О коло каких параллелепипедов можно описать сферу? Ответ поясните.

3) I вариант. Где лежит центр сферы, описанной около правильной п -угольной призмы?

II вариант. Где лежит центр сферы, описанной около правильной пирамиды?

4) I вариант. Как построить центр сферы, вписанной в правильную n -угольную пирамиду?

// вариант. В любую ли правильную призму можно вписать сферу?

I вариант

I уровень

Радиус шара 6 см, через конец радиуса проведена плоскость под углом 60° к нему. Найдите площадь сечения.

II уровень

Правильная четырехугольная призма вписана в шар радиуса 5 см. Ребро основания призмы равно 4 см. Найдите высоту призмы.

III уровень

Вычислите радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром 4см.

IV уровень

Шар радиуса R вписан в усеченный конус. Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания конуса равен а. Найдите радиусы оснований и образующую усеченного конуса.

II вариант

I уровень

Шар, радиус которого 10 см, пересечен плоскостью на расстоянии 6 см от центра. Найдите площадь сечения.

II уровень

Найдите радиус шара, описанного около куба со стороной 4 см.

III уровень.

а. Найдите радиус описанного шара.

IV уровень

Ш вариант

I уровень

Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь большого круга к площади полученного сечения?

II уровень

Правильная треугольная призма вписана в шар радиуса 4 см. Ребро основания призмы равно 3 см. Найдите высоту призмы.

III уровень

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 4 см, а плоский угол при вершине равен а. Найдите радиус вписанного шара.

IV уровень

В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида с плоскими углами а при ее вершине. Найдите высоту пирамиды.

IV вариант

I уровень

На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними 6см, 8см, 10 см. Радиус шара 11 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через эти точки.

II уровень

Правильная шестиугольная призма вписана в шар радиуса 5 см. Ребро основании призмы равно 3 см. Найдите высоту приемы.

Ш уровень

Найдите радиус шара, описанного около правильной n-угольной пирамиды, если сторона основания равна 4 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под утлом а.

IV уровень

Итог урока

Объявляются и анализируются результаты выполнения самостоятельной работы. Учащиеся, которые нуждаются в коррекционной работе, приглашаются на уроки коррекции.

Задается домашнее задание (с необходимыми комментариями), состоящее из обязательной и вариативной частей.

Обязательная часть: п. 187 - 193 - повторить; №44,45,39

Вариативная часть № 35

Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом.

Цели урока:

Ввести понятие сферы, вписанной в многогранник; сферы, описанной около многогранника.

Сравнить описанную окружность и описанную сферу, вписанную окружность и вписанную сферу.

Проанализировать условия существования вписанной сферы и описанной сферы.

Сформировать навыки решения задач по теме.

Развитие у учащихся навыков самостоятельной работы.

Развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, развитие математического мышления и интуиции, творческих способностей на уровне, необходимом для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Описанная окружность.

Определение: Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника , а многоугольник – вписанным в окружность.

Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

В отличие от треугольника около четырехугольника не всегда можно описать окружность. Например: ромб.

Теорема. В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Для того чтобы четырехугольник АВСD был вписанным, необходимо и достаточно, выполнения любого из следующих условий:

ABCD выпуклый четырехугольник и ∟ABD=∟ACD;
Сумма двух противоположных углов четырехугольника равна 180 0 .

Центр окружности равноудален от каждой из его вершин и поэтому совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника, а радиус равен расстоянию от центра до вершин.

Для треугольника: Для правильного многоугольника:

Вписанная окружность.

Определение: Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.

Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например: прямоугольник, не являющийся квадратом.

Теорема. В любом описанном четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны.

Если суммы длин противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Для того чтобы выпуклый четырехугольник ABCD являлся описанным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие AB+DC=BC+AD (суммы длин противоположных сторон равны).

Центр окружности равноудален от сторон многоугольника, значит, совпадает с точкой пересечения биссектрис углов многоугольника (свойство биссектрисы угла). Радиус равен расстоянию от центра окружности до сторон многоугольника.

Для треугольника: Для правильного

Многоугольника:

Предварительный просмотр:

Вписанная сфера.

Определение: Сфера называется вписанной в многогранник, если она касается всех граней многогранника. Многогранник в таком случае называется описанным около сферы.

Центр вписанной сферы – точка пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов.

Сфера называется вписанной в двугранный угол, если она касается его граней. Центр вписанной в двугранный угол сферы лежит на биссекторной плоскости этого двугранного угла. Сфера называется вписанной в многогранный угол, если она касается всех граней многогранного угла.

Не во всякий многогранник можно вписать сферу. Например: в прямоугольный параллелепипед, не являющийся кубом, сферу вписать нельзя.

Теорема . В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу и притом только одну.

Доказательство. Рассмотрим треугольную пирамиду CABD. Проведем биссекторные плоскости ее двугранных углов с ребрами AС и BC. Они пересекаются по прямой, которая пересечет биссекторную плоскость двугранного угла с ребром АВ. Таким образом, биссекторные плоскости двугранных углав с ребрами АВ,АС и ВС имеют единственную общую точку. Обозначим ее Q. Точка Q равноудалена от всех граней пирамиды. Следовательно, сфера соответствующего радиуса с центром в точке Q является вписанной в пирамиду САBD.

Докажем ее единственность. Центр любой сферы вписанной в пирамиду CABD равноудален от ее граней, значит, он принадлежит биссекторным плоскостям двугранных углов. Следовательно, центр сферы совпадает с точкой Q. Что требовалось доказать.

Теорема. В пирамиду, у которой в основание можно вписать окружность, центр которой служит основанием высоты пирамиды, можно вписать сферу.

Следствие. В любую правильную пирамиду можно вписать сферу.

Докажите, что центр сферы вписанной в правильную пирамиду, лежит на высоте этой пирамиды (докажите самостоятельно).

Центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, есть точка пересечения высоты пирамиды с биссектрисой угла, образованного апофемой и ее проекцией на основание.

Задача. а , высота равна h.

Решите задачу.

Задача. 0

Предварительный просмотр:

Описанная сфера.

Определение. Сфера называется описанной около многогранника, если________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________. Многогранник при этом называется _______________________________________.

Каким свойством обладает центр описанной сферы?

Определение. Геометрическим местом точек пространства, равноудаленных от концов некоторого отрезка, является ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________.

Приведите пример многогранника, около которого нельзя описать сферу: ________________________ __________________________________________________________________________________________________________ .

Около какой пирамиды можно описать сферу?

Доказательство. Рассмотрим треугольную пирамиду ABCD. Построим плоскости, перпендикулярные соответственно ребрам АВ, АС и AD и проходящие через их середины. Обозначим через О точку пересечения этих плоскостей. Такая точка существует, и она единственна. Докажем это. Возьмем первые две плоскости. Они пересекаются, поскольку перпендикулярны непараллельным прямым. Обозначим прямую, по которой пересекаются первые две плоскости, через l . Эта прямая l перпендикулярна плоскости АВС. Плоскость, перпендикулярная AD, не параллельна l и не содержит ее, поскольку в противном случае прямая AD перпендикулярна l , т.е. лежит в плоскости АВС. Точка О равноудалена от точек А и В, А и С, А и D, значит, она равноудалена ото всех вершин пирамиды ABCD, т. е. сфера с центром в О соответствующего радиуса является описанной сферой для пирамиды.

Докажем ее единственность. Центр любой сферы, проходящей через вершины пирамиды, равноудален от этих вершин, значит, он принадлежит плоскостям, которые перпендикулярны ребрам пирамиды и проходят через середины этих ребер. Следовательно, центр такой сферы совпадает с точкой О. Теорема доказана.

Около какой еще пирамиды можно описать сферу?

Теорема. _____________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________.

Центр сферы, описанной около пирамиды, совпадает с точкой пересечения прямой, перпендикулярной основанию пирамиды, проходящей через центр описанной около основания окружности и плоскости, перпендикулярной любому боковому ребру, проведенной через середину этого ребра.

Для того чтобы около многогранника можно было описать сферу необходимо, __________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________.

При этом центр описанной сферы может лежать ___________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ и проектируется в центр описанной около любой грани окружности; перпендикуляр, опущенный из центра описанной около многогранника сферы на ребро многогранника, делит это ребро пополам.

Следствие. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ .

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит ________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________.

Проанализируйте решение задачи.

Задача. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а , высота равна h. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.

Решите задачу.

Задача. 0

Предварительный просмотр:

Открытый урок по теме «Вписанные и описанные многогранники»

Тема урока: Сфера, вписанная в пирамиду. Сфера, описанная около пирамиды.

Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом.

Цели урока:

Развитие у учащихся навыков самостоятельной работы.
Развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, развитие математического мышления и интуиции, творческих способностей на уровне, необходимом для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности;

Оборудование:

Интерактивная доска
Презентация «Вписанная и описанная сфера»
Условия задач в рисунках на доске.
Раздаточный материал (опорные конспекты).

Планиметрия. Вписанная и описанная окружность.
Стереометрия. Вписанная сфера
Стереометрия. Описанная сфера

Структура урока:

Постановка целей урока (2 минуты).
Подготовка к изучению нового материала повторением (фронтальный опрос) (6 минут).
Объяснение нового материала (15 минут)
Осмысление темы при самостоятельном составлении конспекта по теме «Стереометрия. Описанная сфера» и применение темы при решении задач (15 минут).
Подведение итогов урока проверкой знания и понимания изученной темы (фронтальный опрос). Оценка ответов учащихся (5 минут).
Постановка домашнего задания (2 минуты).
Резервные задания.

Ход урока

1. Постановка целей урока.

Ввести понятие сферы, вписанной в многогранник; сферы, описанной около многогранника.
Сравнить описанную окружность и описанную сферу, вписанную окружность и вписанную сферу.
Проанализировать условия существования вписанной сферы и описанной сферы.
Сформировать навыки решения задач по теме.

2. Подготовка к изучению нового материала повторением (фронтальный опрос).

Окружность, вписанная в многоугольник.

Какая окружность называется вписанной в многоугольник?
Как называется многоугольник, в который вписана окружность?
Какая точка является центром окружности, вписанной в многоугольник?
Каким свойством обладает центр окружности, вписанной в многоугольник?
Где располагается центр окружности, вписанной в многоугольник?
Какой многоугольник можно описать около окружности, при каких условиях?

Окружность, описанная около многоугольника.

Какая окружность называется описанной около многоугольника?
Как называется многоугольник, около которого описана окружность?
Какая точка является центром окружности, описанной около многоугольника?
Каким свойством обладает центр окружности, описанной около многоугольника?
Где может располагаться центр окружности, описанной около многоугольника?
Какой многоугольник можно вписать в окружность и при каких условиях?

3. Объяснение нового материала.

А . По аналогии учащиеся формулируют новые определения и отвечают на поставленные вопросы.

Сфера, вписанная в многогранник.

Сформулируйте определение сферы, вписанной в многогранник.
Как называется многогранник, в который можно вписать сферу?
Каким свойством обладает центр вписанной в многогранник сферы?
Что представляет множество точек пространства, равноудаленных от граней двугранного угла? (трехгранного угла?)
Какая точка является центром сферы, вписанной в многогранник?
В какой многогранник можно вписать сферу, при каких условиях?

В . Учащиеся доказывают теорему.

В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу.

В процессе работы на уроке учащиеся пользуются опорными конспектами.

С. Учащиеся анализируют решение задачи.

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а , высота равна h. Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду.

D. Учащиеся решают задачу.

Задача. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4, боковые грани наклонены к основанию под углом 60 0 . Найдите радиус, вписанной в эту пирамиду сферы.

4. Осмысление темы при самостоятельном составлении конспекта по « Сфера, описанная около многогранника » и применение при решении задач.

А. У чащиеся самостоятельно заполняют конспект по теме «Сфера, описанная около многогранника». Отвечают на следующие вопросы:

Сформулируйте определение сферы, описанной около многогранника.
Как называется многогранник, около которого можно описать сферу?
Каким свойством обладает центр описанной около многогранника сферы?
Что представляет собой множество точек пространства, равноудаленных от двух точек?
Какая точка является центром сферы, описанной около многогранника?
Где может быть расположен центр сферы, описанной около пирамиды? (многогранника?)
Около какого многогранника можно описать сферу?

В. Учащиеся самостоятельно решают задачу.

Задача. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 3, а боковые ребра наклонены к основанию под углом 60 0 . Найдите радиус описанной около пирамиды сферы.

С. Проверка составленного конспекта и анализ решения задачи.

5. Подведение итогов урока проверкой знания и понимания изученной темы (фронтальный опрос). Оценка ответов учащихся.

А. Учащиеся самостоятельно подводят итоги урока.

В. Отвечают на дополнительные вопросы.

Можно ли описать сферу около четырехугольной пирамиды, в основании которой лежит ромб, не являющийся квадратом?
Можно ли описать сферу около прямоугольного параллелепипеда? Если да, то где находится его центр?
Где в жизни применяется изученная на уроке теория (архитектура, сотовая телефонная связь, геостационарные спутники, система обнаружения GPS).

6. Постановка домашнего задания.

А. Составить конспект по теме «Сфера, описанная около призмы. Сфера, вписанная в призму». (Рассмотреть по учебнику задачи: №632,637,638)

В. Решить из учебника задачу № 640.

С. Из методички Б.Г. Зив «Дидактические материалы по геометрии 10 класс» решить задачи: Вариант №3 С12(1), Вариант №4 С12(1).

D. Дополнительное задание: Вариант №5 С12 (1).

7. Резервные задания.

Из методички Б.Г. Зив «Дидактические материалы по геометрии 10 класс»решить задачи: Вариант №3 С12(1), Вариант №4 С12(1).

Учебно – методический комплект

Геометрия, 10-11: Учебник для общеобразовательных учреждений. Базовый и профильный уровни/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др., М.: Просвещение, 2010г.
Б.Г. Зив «Дидактические материалы по геометрии 10 класс», М.: Просвещение.
Повторение Окружность, описанная около многоугольника Какая окружность называется описанной около многоугольника? Что является центром окружности, описанной около многоугольника? Каким свойством обладает центр окружности, описанной около многоугольника? Где располагается центр окружности, описанной около многоугольника? Какой многоугольник можно вписать в окружность и при каких условиях?
Повторение Окружность, вписанная в многоугольник Какая окружность называется вписанной в многоугольник? Что является центром окружности, вписанной в многоугольник? Каким свойством обладает центр окружности, вписанной в многоугольник? Где располагается центр окружности, вписанной в многоугольник? Какой многоугольник можно описать около окружности, при каких условиях?
Сфера, вписанная в многогранник Сформулируйте определение сферы, вписанной в многогранник. Как называется многогранник? Каким свойством обладает центр вписанной сферы? Где расположено множество точек пространства, равноудаленных от граней двугранного угла? (трехгранного угла)? В какой многогранник можно вписать сферу?
Сфера, вписанная в пирамиду
Сфера, описанная около многогранника Сформулируйте определение сферы, описанной около многогранника. Как называется многогранник? Каким свойством обладает центр описанной сферы? Где расположено множество точек пространства, равноудаленных от двух точек? Где расположен центр сферы, описанной около пирамиды? (многогранника?) Около какого многогранника можно описать сферу?
Сфера, описанная около пирамиды
Подведение итогов урока. Можно ли описать сферу около четырехугольной пирамиды, в основании которой лежит ромб, не являющийся квадратом? Можно ли описать сферу около прямоугольного параллелепипеда? Если да, то где находится его центр?
Домашнее задание. Составить конспект по теме «Сфера, описанная около призмы. Сфера, вписанная в призму». (Рассмотреть по учебнику задачи: №632,637,638) Решить из учебника задачу № 640. Из методички решить задачи: Вариант №3 С12(1), Вариант №4 С12(1).

Открытый урок по теме «Вписанные и описанные многогранники»

Тема урока: Сфера, вписанная в пирамиду. Сфера, описанная около пирамиды.
Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом.Цели урока:
Оборудование:
Структура урока:
Ход урока 1. Постановка целей урока.
2. Подготовка к изучению нового материала повторением (фронтальный опрос). Окружность, вписанная в многоугольник.
Окружность, описанная около многоугольника.
3. Объяснение нового материала. А. По аналогии учащиеся формулируют новые определения и отвечают на поставленные вопросы. Сфера, вписанная в многогранник.
В. Учащиеся доказывают теорему. В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу.В процессе работы на уроке учащиеся пользуются опорными конспектами.С. Учащиеся анализируют решение задачи.
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а , высота равна h . Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду.

D. Учащиеся решают задачу.

Задача. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4, боковые грани наклонены к основанию под углом 60 0 . Найдите радиус, вписанной в эту пирамиду сферы.

4. Осмысление темы при самостоятельном составлении конспекта по « Сфера, описанная около многогранника » и применение при решении задач.

А. Учащиеся самостоятельно заполняют конспект по теме «Сфера, описанная около многогранника». Отвечают на следующие вопросы:
В. Учащиеся самостоятельно решают задачу.

Задача. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 3, а боковые ребра наклонены к основанию под углом 60 0 . Найдите радиус описанной около пирамиды сферы.

С. Проверка составленного конспекта и анализ решения задачи.

5. Подведение итогов урока проверкой знания и понимания изученной темы (фронтальный опрос). Оценка ответов учащихся.

А. Учащиеся самостоятельно подводят итоги урока.

В. Отвечают на дополнительные вопросы.
6. Постановка домашнего задания.

А. Составить конспект по теме «Сфера, описанная около призмы. Сфера, вписанная в призму». (Рассмотреть по учебнику задачи: №632,637,638)

В. Решить из учебника задачу № 640.

С. Из методички Б.Г. Зив «Дидактические материалы по геометрии 10 класс» решить задачи: Вариант №3 С12(1), Вариант №4 С12(1).

D. Дополнительное задание: Вариант №5 С12 (1).

7. Резервные задания.

Из методички Б.Г. Зив «Дидактические материалы по геометрии 10 класс»решить задачи: Вариант №3 С12(1), Вариант №4 С12(1).

Учебно – методический комплект
Учитель математики

ГБОУ лицей-интернат «ЦОД»

г Нижний Новгород

Многогранники, вписанные в шар. Основные определения и теоремы. Определение. Сфера называется описанной около многогранника (или многогранник, вписанным в сферу), если все вершины многогранника лежат на этой сфере.
Слайд 8 из презентации ««Задачи по геометрии» 11 класс» . Размер архива с презентацией 1032 КБ.
Геометрия 11 класс
краткое содержание других презентаций
«Объёмы геометрических тел» - Объемы многогранников. Понятие объема. Объем пирамиды. Конус выноса. Объем прямой призмы. Ответ. Науки стремятся к математике. Успеха в изучении материала. Объем прямоугольного параллелепипеда. Рисунки и чертежи. Объем правильной четырехугольной пирамиды. Свойства площадей. Площадь. Ребро куба. Понятие объема тел. Квадрат. Объем цилиндра. Конус. Многоугольник. Геометрические фигуры. Три латунных куба.
«Векторы в пространстве» - Координаты вектора. Разности. Векторы в пространстве. Разность двух векторов. Умножение двух векторов. Действия с векторами. Единственный вектор. Умение выполнять действия. Правило многоугольника. Соноправленные векторы. Определение вектора. Действие с векторами. Векторы являются некомпланарными. Решение.
«Геометрические задачи в ЕГЭ» - Площадь поверхности многогранника. Найдите тангенс внешнего угла. В создании презентации принимали участие. Варианты задач. Площадь треугольника. Площадь трапеции. Найдите площадь треугольника. Площадь части круга. Основной справочный материал. Планиметрия. Типичные ошибки. Основы геометрии. Устные упражнения. Возможные задания. Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами. Найдите объем многогранника.
«Вычислить объём тела вращения» - Конус. Найдите объём. Шар. Цилиндр и конус. Цилиндр. Объём конуса. Сфера. Виды тел вращения. Фигура. Объём V конуса. Определение конуса. Цилиндрический сосуд. Определение цилиндра. Цилиндры вокруг нас. Объёмы тел вращения. Куб. Радиусы.
«Координаты вектора в пространстве» - Учебник. Решение. Абсолютная величина. Сумма векторов. Разность векторов. Общее начало. Координата. Рисунок. Величина и направление вектора. Произведение вектора. Длина отрезка. Действия над векторами в пространстве. Плоскости. Доказательство. Скалярное произведение векторов. Векторы в пространстве.
««Движение» 11 класс» - Симметрия в архитектуре. Осевая симметрия. Параллельный перенос. Движение. Симметрия в растениях. Скользящая симметрия. Симметрия в животном мире. Введение. Поворот. Центральная симметрия. Движение. Зеркальная симметрия.

Определение. Сфера называется вписанной в многогранник , если плоскости всех граней многогранника касаются сферы в тачках, расположенных внутри этих граней. При этом многогранник называется описанным около сферы.

Теорема 1. В произвольный тетраэдр можно вписать сферу (шар).

Множество точек, равноудаленных от боковых граней тетраэдра есть прямая пересечения двух биссекторных плоскостей двугранных углов при двух боковых ребрах. Эту прямую пересечет биссекторная плоскость двугранного угла при основании. Полученная точка равноудалена от всех граней тетраэдра.

В тетраэдре ABCD плоскости CDN и ADM являются биссекторными плоскостями двугранных углов при боковых ребрах CD и AD. Они пересекаются по прямой OD. Плоскость AKC является бисссекторной плоскостью двугранного угла при основании (ребро AC). Эта плоскость пересечет прямую OD в точке S (P – точка пересечения прямых DM и KC, принадлежащая плоскостям AKC и ADM одновременно, следовательно точка S – точка пересечения AP и OD), которая будет являться точкой, равноудаленной от всех граней тетраэдра и, следовательно, будет являться центром сферы, вписанной в тетраэдр ABCD.

Пример 1 . Найти радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр.

Рассмотрим подобные треугольники DPS и DOK (по двум углам: угол D – общий, углы DPS и DOK – прямые).

Тогда PS:KO=DS:DK,

если учесть, что PS=r=SO и DS=DO-SO=DO-r,

, , то .

Ответ: радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр равен

Теорема 2. В правильную пирамиду можно вписать сферу.

Теорема 3. В правильную усеченную пирамиду можно вписать сферу тогда и только тогда, когда ее апофема равна сумме радиусов окружностей, вписанных в ее основания.

Теорема 4. В любую призму можно вписать сферу, если в ее перпендикулярное сечение можно вписать окружность, радиус которой равен половине высоты призмы.

Теорема 5. В правильную призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда высота призмы равна диаметру окружности, вписанной в ее основание.

Сферы, описанные около цилиндра, конуса и

Усеченного конуса.

Определение. Сфера называется описанной около цилиндра или усеченного конуса , если все точки окружностей оснований принадлежат сфере; Сфера называется описанной около конуса , если все точки окружности основания, а также вершина конуса принадлежат сфере.

В этих случаях говорят, что цилиндр, усеченный конус или конус вписан в сферу.

Теорема 1. Около произвольного цилиндра можно описать сферу.

О 1 и О 2 – центры нижнего и верхнего основания соответственно. Прямая О 1 О 2 перпендикулярна плоскостям основания. Проведем плоскость, проходящую через середину образующей цилиндра, перпендикулярно этой образующей. Эта плоскость будет параллельна плоскостям основания и пересекать прямую О 1 О 2 в точке О, которая и будет являться центром сферы, описанной около цилиндра. Расстояние от точки О до всех точек основания будет равным, так как О 1 О 2 является ГМТ, равноудаленных от окружности (прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярна плоскости окружности). Значит точка О является центром сферы с радиусом ОА, описанной около цилиндра.

Теорема 2. Около усеченного конуса можно описать сферу.

О 1 и О 2 – центры нижнего и верхнего основания соответственно. Прямая О 1 О 2 перпендикулярна плоскостям основания. Рассмотрим образующую усеченного конуса АВ. Найдем ГМТ, равноудаленных от тачек А и В. Им будет являть плоскость, проходящая через точку Р – середину АВ и перпендикулярная этой прямой. Эта плоскость пересечет О 1 О 2 в точке О, которая будет равноудалена от точек А и В. Также очевидно, что точка О будет равноудалена от все точек оснований усеченного конуса. Следовательно эта точка О будет являться центром сферы с радиусом ОА, описанной около усеченного конуса.

Теорема 3. Около конуса можно описать сферу.

Аналогично прошлой теореме ОА – высота конуса, которая является ГМТ, равноудаленных от окружности. Рассмотрим образующую АВ и найдем ГМТ, равноудаленных от А и В. Полученная плоскость (по предыдущей задаче) пересечет ОА в точке О 1 , которая будет равноудалена от точек А и В, как и от любых точек основания конуса. Таким образом мы получили, что точка О 1 является центром сферы с радиусом О 1 А, описанной около конуса.

Многогранники, вписанные в сферу. Математика

Скачать:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Геометрия 11 класс