Непрерывная случайная величина, функция распределения и плотность вероятности. Функция распределения и плотность вероятности в MS EXCEL Плотность вероятности для дискретной и непрерывной случайной величины

Непрерывную с. в. можно задать, используя функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности, или дифференциальной функцией распределения.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной с. в. Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x):

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Для описания распределения вероятностей дискретной с. в. плотность распределения не применима.

Вероятностный смысл плотности распределения.

Таким образом, предел отношения вероятности того, что непрерывная с. в. примет значение, принадлежащее интервалу (x, x +∆x), к длине этого интервала (при ∆x → 0) равен значению плотности распределения в точке х.

Функция плотности характеризует каждое значение непрерывной случайной величины в отдельности, а не целый диапазон как это имеет место для функции распределения.

Вероятность попадания непрерывной с. в. в заданный интервал.

По формуле Ньютона – Лейбница:

P{a < X  b}= F(b) – F(a),

таким образом

Нахождение функции распределения по известной функции плотности.

Полагая в предыдущей формуле а = -∞, b = х, и заменив переменную интегрирования х на t имеем:

F(х) = P{X  х}=P{-∞< X  х},

следовательно

Свойства плотности распределения

Свойство 1. Плотность распределения – неотрицательная функция: f(x)0 (т.к. интегральная функция распределения – неубывающая функция, а плотность распределения ее первая производная).

Свойство 2:

Доказательство. Несобственный интеграл
выражает вероятность события, состоящего в том, что случайная величина примет значение, принадлежащая интервалу (-∞, ∞). Очевидно, такое событие достоверно, следовательно, вероятность его равна единице.

Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью 0х и кривой распределения, равна единице.

Вчастности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а,b), то
.

Возможный график плотности распределения (пример)

f 1 (x) – плотность распределения размера выигрыша в 1-й игре

f 2 (x) – плотность распределения размера выигрыша во 2-ой игре

Какая игра предпочтительней?

Числовые характеристики случайных величин. .

Данные характеристики позволяют решать многие задачи, не зная закона распределения случайных величин.

Характеристики положения случайной величины на числовой оси.

    Математическое ожидание это есть среднее взвешенное значений случайной величины Х, в которое абсцисса каждой точки х i входит с «весом», равным соответствующей вероятности.

Математическое ожидание иногда называют просто средним значением с.в.

Обозначение: m x или M [X].

Для дискретной случайной величины

M [X] =

Для непрерывной случайной величины

    Мода – это наиболее вероятное значение случайной величины (то для которого вероятность p i , или плотность распределения f(x) достигает максимума).

Обозначение: 

Различают унимодальные распределения (имеют одну моду), полимодальные распределения (имеют несколько мод) и анимодальные (не имеют моды)

унимодальное

    Медиана – это такое значение случайной величины х m , для которого выполняется следующее равенство:

P{X < х m }= P{X > х m }

Медиана делит площадь,ограниченную f(x), пополам

Если плотность распределения случайной величины симметрична и унимодальна, то М[X],  и х m совпадают

М[X], , х m – неслучайные величины

Закон распределения вероятностей случайной величины можно задавать с помощью интегральной функции распределения. Интегральной функцией распределения называется функция F(X), для каждого значения х определяющая вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее...
  • Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины
    Функция F(X) существует как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Отметим важнейшие свойства функции распределения вероятностей непрерывной случайной величины. 1. Для значений функции распределения F(x ) имеет место 2. F(x) - неубывающая функция, т.е. 3. Вероятность...
     (ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА)
  • Непрерывная случайная величина. Плотность распределения
    Определение 3.6. СВ % называется непрерывной, если существует такая функция р(х ) называемая плотностью вероятностей или плотностью распределения вероятностей, что ФР СВ?, равна Если в точке х плотность р(х) непрерывна, то, дифференцируя левую и правую...
  • 4.3. Непрерывная двумерная случайная величина. Совместная плотность распределения
    По аналогии с «-мерной случайной величиной дадим следующее определение. Определение 4.8. Двумерный случайной вектор (?, р) называется непрерывным, если существует такая неотрицательная функция р(х, у), называемая совместной плотностью распределения случайных величин? и р, что Из...
     (ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ)
  • Плотность распределения
    Рис. 1.9. Основные характеристики нормального распределения при разных значениях среднего квадратического отклонения: а - плотность вероятности /(/); б - вероятность безотказной работы р(/); в - интенсивность отказов Х(/) Распределение имеет два независимых параметра: математическое...
     (НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ)
  • Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
    Закономраспределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т.е. пар чисел (х.,и их вероятностей/? (х.,у.) (?= 1,2.....«; j= 1,2,...,»?). Обычно закон распределения задают в виде таблицы с двойным входом (табл. 2). Первая строка...
     (ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА)
  • Отыскание плотностей вероятности составляющих двумерной случайной величины
    Пусть известна плотность совместного распределения вероятностей системы двух случайных величин. Найдем плотности распределения каждой из составляющих. Найдем сначала плотность распределения составляющей X. Обозначим через Fx(x) функцию распределения составляющей X. По определению...
     (ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА)
  • Полная группа событий. Противоположные события. Соот­ношение между вероятностями противоположных событий (с вы­водом).
  • Зависимые и независимые события. Произведение событий. Понятие условной вероятности. Теорема умножения вероятнос­тей (с доказательством).
  • Формулы полной вероятности и Байеса (с доказательством). Примеры.
  • Повторные независимые испытания. Формула Бернулли (с выводом). Примеры.
  • Локальная теорема Муавра-Лапласа, условия ее примени­мости. Свойства функции Дх). Пример.
  • Асимптотическая формула Пуассона и условия ее примени­мости. Пример.
  • Интегральная теорема Муавра-Лапласа и условия ее применимости. Функция Лапласа ф(х) и ее свойства. Пример.
  • Следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа (с вы­водом). Примеры.
  • Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства (с выводом). Примеры.
  • Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства (с вы­водом). Примеры.
  • Функция распределения случайной величины, ее определе­ние, свойства и график.
  • Непрерывная случайная величина (нов). Вероятность отдельно взятого значения нсв. Математическое ожидание и дис­персия нсв.
  • Плотность вероятности непрерывной случайной величины, ее определение, свойства и график.
  • Случайная величина, распределенная по биномиальному закону, ее математическое ожидание и дисперсия. Закон распреде­ления Пуассона.
  • Математическое ожидание и дисперсия числа и частости на­ступлений события в п повторных независимых испытаниях (с выводом).
  • Определение нормального закона распределения. Теоретико-вероятностный смысл его параметров. Нормальная кривая и зависимость ее положения и формы от параметров.
  • Функция распределения нормально распределенной случай­ной величины и ее выражение через функцию Лапласа.
  • Формулы для определения вероятности: а) попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интер­вал; б) ее отклонения от математического ожидания. Правило «трехсигм».
  • Понятие двумерной (/7-мерной) случайной величины. При­меры. Таблица ее распределения. Одномерные распределения ее составляющих. Условные распределения и их нахождение по таб­лице распределения.
  • Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между екоррелированностью и независимостью случай­ных величин.
  • Понятие о двумерном нормальном законе распределения. Условные математические ожидания и дисперсии.
  • Неравенство Маркова (лемма Чебышева) (с выводом). При­мер.
  • Неравенство Чебышева (с выводом) и его частные случаидля случайной величины, распределенной по биномиальному за­кону, и для частости события.
  • Теорема Чебышева (с доказательством), ее значение и след­ствие. Пример.
  • Закон больших чисел. Теорема Бернулли (с доказательством) и ее значение. Пример.
  • Неравенство Чебышева для средней арифметической случай­ных величин (с выводом).
  • Центральная предельная теорема. Понятие о теореме Ляпу­нова и ее значение. Пример.
  • Вариационный ряд, его разновидности. Средняя арифмети­ческая и дисперсия ряда. Упрощенный способ их расчета.
  • Понятие об оценке параметров генеральной совокупности. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность.
  • Оценка генеральной доли по собственно-случайной выбор­ке. Несмещенность и состоятельность выборочной доли.
  • Оценка генеральной средней по собственно-случайной вы­борке. Несмещенность и состоятельность выборочной средней.
  • Оценка генеральной дисперсии по собственно-случайной выборке. Смещенность и состоятельность выборочной дисперсии (без вывода). Исправленная выборочная дисперсия.
  • Понятие об интервальном оценивании. Доверительная ве­роятность и доверительный интервал. Предельная ошибка выбор­ки. Ошибки репрезентативности выборки (случайные и систематические).
  • Формула доверительной вероятности при оценке генеральной средней. Средняя квадратическая ошибка повторной и бес­повторной выборок и построение доверительного интервала для генеральной средней.
  • Определение необходимого объема повторной и бесповтор­ной выборок при оценке генеральной средней и доли.
  • Статистическая гипотеза и статистический критерий. Ошибки 1-го и 2-го рода. Уровень значимости и мощность критерия. Принцип практической уверенности.
  • Построение теоретического закона распределения по опыт­ным данным. Понятие о критериях согласия.
  • Критерий согласия х2-Пирсона и схема его применения.
  • Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Различия между ними. Основные задачи теории корреляции.
  • Линейная парная регрессия. Система нормальных уравне­ний для определения параметров прямых регрессии. Выборочная ковариация. Формулы для расчета коэффициентов регрессии.
  • Упрощенный способ:
  • Оценка тесноты связи. Коэффициент корреляции (выбороч­ный), его свойства и оценка достоверности.

    1. Плотность вероятности непрерывной случайной величины, ее определение, свойства и график.

    Про случайную величину Х говорят, что она имеет распределение (распределена) с плотностью
    на определенном участке оси абсцисс. Плотность вероятности
    , как и функция распределения F(x), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения она существует толькодля непрерывных случайных величин . Плотность вероятности иногда называют дифференциальной функцией или дифференциальным законом распределения . График плотности вероятности
    называетсякривой распределения .

    Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины.


    ☺
    как производная монотонно неубывающей функции F(х). ☻


    ☺
    Согласно свойству 4 функции распределения . Так как F(x) - первообразная для плотности вероятности
    (т.к.
    , то по формуле Ньютона-Лейбница приращение первообразной на отрезке [а,b] – определенный интеграл
    . ☻

    Геометрически полученная вероятность равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения и опирающейся на отрезок [а,b] (рис. 3.8).

      Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через плотность вероятности по формуле :

    .

    Геометрически функция распределения равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения и лежащей левее точки х (рис. 3.9).


    Геометрически свойства 1 и 4 плотности вероятности означают, что ее график - кривая распределения - лежит не ниже оси абсцисс, и полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

    1. Случайная величина, распределенная по биномиальному закону, ее математическое ожидание и дисперсия. Закон распреде­ления Пуассона.

    Определение . Дискретная случайная величина Х имеет биномиальный закон распределения с параметрами npq, если она принимает значения 0, 1, 2,..., m,... ,n с вероятностями

    где 0<р

    Как видим, вероятности Р(Х=m) находятся по формуле Бернулли, следовательно, биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа Х=m наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р.

    Ряд распределения биномиального закона имеет вид:

    Очевидно, что определение биномиального закона корректно, т.к. основное свойство ряда распределения
    выполнено, ибоесть не что иное, как сумма всех членов разложения бинома Ньютона:

    Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по биноминальному закону,

    а ее дисперсия

    Определение . Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона с параметром λ > 0, если она принимает значения 0, 1, 2,..., m, ... (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями
    ,

    Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:

    Очевидно, что определение закона Пуассона корректно, так как основное свойство ряда распределения
    выполнено, ибо сумма ряда.

    На рис. 4.1 показан многоугольник (полигон) распределения случайной величины, распределенной по закону Пуассона Р(Х=m)=Р m (λ) с параметрами λ = 0,5, λ = 1, λ = 2, λ = 3,5.

    Теорема . Математическое oжидaниe и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру λ этого закона, т.е.

    и

    "

    Даны определения Функции распределения случайной величины и Плотности вероятности непрерывной случайной величины. Эти понятия активно используются в статьях о статистике сайта . Рассмотрены примеры вычисления Функции распределения и Плотности вероятности с помощью функций MS EXCEL .

    Введем базовые понятия статистики, без которых невозможно объяснить более сложные понятия.

    Генеральная совокупность и случайная величина

    Пусть у нас имеется генеральная совокупность (population) из N объектов, каждому из которых присуще определенное значение некоторой числовой характеристики Х.

    Примером генеральной совокупности (ГС) может служить совокупность весов однотипных деталей, которые производятся станком.

    Поскольку в математической статистике, любой вывод делается только на основании характеристики Х (абстрагируясь от самих объектов), то с этой точки зрения генеральная совокупность представляет собой N чисел, среди которых, в общем случае, могут быть и одинаковые.

    В нашем примере, ГС - это просто числовой массив значений весов деталей. Х – вес одной из деталей.

    Если из заданной ГС мы выбираем случайным образом один объект, имеющей характеристику Х, то величина Х является случайной величиной . По определению, любая случайная величина имеет функцию распределения , которая обычно обозначается F(x).

    Функция распределения

    Функцией распределения вероятностей случайной величины Х называют функцию F(x), значение которой в точке х равно вероятности события X

    F(x) = P(X

    Поясним на примере нашего станка. Хотя предполагается, что наш станок производит только один тип деталей, но, очевидно, что вес изготовленных деталей будет слегка отличаться друг от друга. Это возможно из-за того, что при изготовлении мог быть использован разный материал, а условия обработки также могли слегка различаться и пр. Пусть самая тяжелая деталь, произведенная станком, весит 200 г, а самая легкая - 190 г. Вероятность того, что случайно выбранная деталь Х будет весить меньше 200 г равна 1. Вероятность того, что будет весить меньше 190 г равна 0. Промежуточные значения определяются формой Функции распределения. Например, если процесс настроен на изготовление деталей весом 195 г, то разумно предположить, что вероятность выбрать деталь легче 195 г равна 0,5.

    Типичный график Функции распределения для непрерывной случайной величины приведен на картинке ниже (фиолетовая кривая, см. файл примера ):

    В справке MS EXCEL Функцию распределения называют Интегральной функцией распределения (Cumulative Distribution Function , CDF ).

    Приведем некоторые свойства Функции распределения:

    • Функция распределения F(x) изменяется в интервале , т.к. ее значения равны вероятностям соответствующих событий (по определению вероятность может быть в пределах от 0 до 1);
    • Функция распределения – неубывающая функция;
    • Вероятность того, что случайная величина приняла значение из некоторого диапазона плотность вероятности равна 1/(0,5-0)=2. А для с параметром лямбда =5, значение плотности вероятности в точке х=0,05 равно 3,894. Но, при этом можно убедиться, что вероятность на любом интервале будет, как обычно, от 0 до 1.

      Напомним, что плотность распределения является производной от функции распределения , т.е. «скоростью» ее изменения: p(x)=(F(x2)-F(x1))/Dx при Dx стремящемся к 0, где Dx=x2-x1. Т.е. тот факт, что плотность распределения >1 означает лишь, что функция распределения растет достаточно быстро (это очевидно на примере ).

      Примечание : Площадь, целиком заключенная под всей кривой, изображающей плотность распределения , равна 1.

      Примечание : Напомним, что функцию распределения F(x) называют в функциях MS EXCEL интегральной функцией распределения . Этот термин присутствует в параметрах функций, например в НОРМ.РАСП (x; среднее; стандартное_откл; интегральная ). Если функция MS EXCEL должна вернуть Функцию распределения, то параметр интегральная , д.б. установлен ИСТИНА. Если требуется вычислить плотность вероятности , то параметр интегральная , д.б. ЛОЖЬ.

      Примечание : Для дискретного распределения вероятность случайной величине принять некое значение также часто называется плотностью вероятности (англ. probability mass function (pmf)). В справке MS EXCEL плотность вероятности может называть даже "функция вероятностной меры" (см. функцию БИНОМ.РАСП() ).

      Вычисление плотности вероятности с использованием функций MS EXCEL

      Понятно, что чтобы вычислить плотность вероятности для определенного значения случайной величины, нужно знать ее распределение.

      Найдем плотность вероятности для N(0;1) при x=2. Для этого необходимо записать формулу =НОРМ.СТ.РАСП(2;ЛОЖЬ) =0,054 или =НОРМ.РАСП(2;0;1;ЛОЖЬ) .

      Напомним, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение x равна 0. Для непрерывной случайной величины Х можно вычислить только вероятность события, что Х примет значение, заключенное в интервале (а; b).

      Вычисление вероятностей с использованием функций MS EXCEL

      1) Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по (см. картинку выше), приняла положительное значение. Согласно свойству Функции распределения вероятность равна F(+∞)-F(0)=1-0,5=0,5.

      НОРМ.СТ.РАСП(9,999E+307;ИСТИНА) -НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА) =1-0,5.
      Вместо +∞ в формулу введено значение 9,999E+307= 9,999*10^307, которое является максимальным числом, которое можно ввести в ячейку MS EXCEL (так сказать, наиболее близкое к +∞).

      2) Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по , приняла отрицательное значение. Согласно определения Функции распределения, вероятность равна F(0)=0,5.

      В MS EXCEL для нахождения этой вероятности используйте формулу =НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА) =0,5.

      3) Найдем вероятность того, что случайная величина, распределенная по стандартному нормальному распределению , примет значение, заключенное в интервале (0; 1). Вероятность равна F(1)-F(0), т.е. из вероятности выбрать Х из интервала (-∞;1) нужно вычесть вероятность выбрать Х из интервала (-∞;0). В MS EXCEL используйте формулу =НОРМ.СТ.РАСП(1;ИСТИНА) - НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА) .

      Все расчеты, приведенные выше, относятся к случайной величине, распределенной по стандартному нормальному закону N(0;1). Понятно, что значения вероятностей зависят от конкретного распределения. В статье функции распределения найти точку, для которой F(х)=0,5, а затем найти абсциссу этой точки. Абсцисса точки =0, т.е. вероятность, того что случайная величина Х примет значение <0, равна 0,5.

      В MS EXCEL используйте формулу =НОРМ.СТ.ОБР(0,5) =0.

      Однозначно вычислить значение случайной величины позволяет свойство монотонности функции распределения.

      Обратная функция распределения вычисляет , которые используются, например, при . Т.е. в нашем случае число 0 является 0,5-квантилем нормального распределения . В файле примера можно вычислить и другой квантиль этого распределения. Например, 0,8-квантиль равен 0,84.

      В англоязычной литературе обратная функция распределения часто называется как Percent Point Function (PPF).

      Примечание : При вычислении квантилей в MS EXCEL используются функции: НОРМ.СТ.ОБР() , ЛОГНОРМ.ОБР() , ХИ2.ОБР(), ГАММА.ОБР() и т.д. Подробнее о распределениях, представленных в MS EXCEL, можно прочитать в статье .

      Выше непрерывная случайная величина задавалась с помощью функции распределения. Этот способ задания не является единственным. Непрерывную случайную величину можно также задать, используя функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (часто ее называют дифференциальной функцией ).

      Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f (x) - первую производную от функции распределения F (x) :

      f (x)= F" (x).

      Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения. Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

      Теорема . Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а, b ), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b :

      Зная плотность распределения f(x) , можно найти функцию распределения F (х) по формуле

      .

      Свойства плотности распределения:

      Свойство 1. Плотность распределения - неотрицательная функция:
      .

      Геометрически это свойство означает, что точки, принадлежащие графику плотности распределения, расположены либо над осью Ох , либо на этой оси. График плотности распределения называют кривой распределения .

      Свойство 2 . Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от
      до
      равен единице:

      .

      Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и кривой распределения, равна единице.

      В частности, если все значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b ), то

      .

      Математическое ожидание дискретной случайной величины

      Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако он зачастую неизвестен заранее и приходится пользоваться косвенными сведениями. Во многих случаях этих косвенных характеристик вполне достаточно для решения практических задач и определять закон распределения не нужно. Такие характеристики называют числовыми характерис тиками случайной величины. И первой из них является математическое ожидание.

      Математическим ожиданиемдискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений (x 1 , x 2 , …, x n ) на их вероятности (p 1 , p 2 , …, p n ):

      Следует заметить, что M (x ) есть неслучайная (постоянная) величина. Можно доказать, что M (x ) приближенно равно (и тем точнее, чем больше число испытаний n ) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

      Математическое ожидание имеет следующие свойства :

      · Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:

      .

      · Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

      .

      · Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин X и Y (т.е. закон распределения одной из них не зависит от возможных значений другой) равно произведению их математических ожиданий:

      · Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

      Здесь под суммой X + Y случайных величин понимается новая случайная величина, значения которой равны суммам каждого значения X с каждым возможным значением Y ; вероятности возможных значений X + Y для независимых случайных величин X и Y равны произведениям вероятностей слагаемых, а для зависимых – произведениям вероятностей одного слагаемого на условную вероятность другого. Так, если X и Y – независимы и их законы распределения

      · Если производится n независимых испытаний, в

      каждом из которых вероятность события A постоянна и равна p , то математическое ожидание числа появлений события A в серии:

      .

      Отметим, что свойства третье и четвертое легко обобщаются для любого количества случайных величин.

      Дисперсия дискретной случайной величины

      Математическое ожидание – удобная характеристика, но часто ее недостаточно для суждения о возможных значениях случайной величины или о том, как они рассеяны вокруг среднего значения. Поэтому вводятся и другие числовые характеристики.

      Пусть X – случайная величина с математическим ожиданием M (X ). Отклонением X 0 назовем разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием:

      .

      Математическое ожидание отклонения M (X 0) = 0.

      Пример. Пусть задан закон распределения величины X :

      Отклонение является промежуточной характеристикой, на основе которой введем более удобную характеристику. Дисперсией (рассеиванием ) дискретной случайной величиныназывается математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины:

      Для примера найдем дисперсию величины X со следующим законом распределения:

      Здесь . Искомая дисперсия:

      Величина дисперсии определяется не только значениями случайной величины, но и их вероятностями. Поэтому в случае если две случайные величины имеют одинаковые или близкие математические ожидания (это достаточно часто встречается), то дисперсии, как правило, различны. Это позволяет дополнительно характеризовать изучаемую случайную величину.

      Перечислим свойства дисперсии:

      · Дисперсия постоянной величины равна нулю:

      .

      · Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

      .

      · Дисперсия суммы и разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

      · Дисперсия числа появлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность P появления события постоянна , определяется по формуле:

      ,

      где
      – вероятность непоявления события.

      Удобной вспомогательной характеристикой, используемой в расчетах даже чаще, чем D (X ), является среднеквадратическое отклонение (или стандарт ) случайной величины:

      .

      Дело в том, что D (X ) имеет размерность квадрата размерности случайной величины, а размерность стандарта X ) та же, что и у случайной величины X . Это очень удобно для оценки разброса случайной величины.

      Пример. Пусть случайная величина задается распределением:

      X 2м 3м 10м
      P 0,1 0,4 0,5

      Рассчитываем: м,

      а стандарт: м.

      Поэтому про случайную величину X можно сказать либо – ее математическое ожидание 6,4 м с дисперсией 13,04 м 2 , либо – ее математическое ожидание 6,4 м с разбросом
      м. Вторая формулировка, очевидно, нагляднее.

      Отметим, что для суммы n независимых случайных величин:

      Начальные и центральные теоретические моменты

      Для большинства практических расчетов введенных выше числовых характеристик M X ),D X )и X ) достаточно. Однако для исследования поведения случайных величин можно использовать и некоторые дополнительные числовые характеристики, позволяющие отследить нюансы поведения случайной величины и обобщить вышеизложенную теорию.

      Начальным моментомk-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание величины X k :