Движение жидкости по трубам.
Зависимость давления жидкости от скорости ее течения

Стационарное течение жидкости. Уравнение неразрывности

Рассмотрим случай, когда невязкая жидкость течет по горизонтальной цилиндрической трубе с изменяющимся поперечным сечением.

Течение жидкости называют стационарным , если в каждой точке пространства, занимаемого жидкостью, ее скорость с течением времени не изменяется. При стационарном течении через любое поперечное сечение трубы за равные промежутки времени переносятся одинаковые объемы жидкости.

Жидкости практически несжимаемы , т. е. можно считать, что данная масса жидкости всегда имеет неизменный объем. Поэтому одинаковость объемов жидкости, проходящих через разные сечения трубы, означает, что скорость течения жидкости зависит от сечения трубы.

Пусть скорости стационарного течения жидкости через сечения трубы S1 и S2 равны соответственно v1 и v2. Объем жидкости, протекающей за промежуток времени t через сечение S1, равен V1=S1v1t, а объем жидкости, протекающей за то же время через сечение S2, равен V2=S2v2t. Из равенства V1=V2 следует, что

Соотношение (1) называют уравнением неразрывности . Из него следует, что

Следовательно, при стационарном течении жидкости скорости движения ее частиц через разные поперечные сечения трубы обратно пропорциональны площадям этих сечений.

Давление в движущейся жидкости. Закон Бернулли

Увеличение скорости течения жидкости при переходе из участка трубы с большей площадью поперечного сечения в участок трубы с меньшей площадью поперечного сечения означает, что жидкость движется с ускорением.

Согласно второму закону Ньютона, причиной ускорения является сила. Этой силой в данном случае является разность сил давления, действующих на текущую жидкость в широкой и узкой частях трубы. Следовательно, в широкой части трубы давление жидкости должно быть больше, чем в узкой. Это можно непосредственно наблюдать на опыте. На рис. показано, что на участках разного поперечного сечения S1 и S2 в трубу, по которой течет жидкость, вставлены манометрические трубки.

Как показывают наблюдения, уровень жидкости в манометрической трубке у сечения S1 трубы выше, чем у сечения S2. Следовательно, давление в жидкости, протекающей через сечение с большей площадью S1, выше, чем давление в жидкости, протекающей через сечение с меньшей площадью S2. Следовательно, при стационарном течении жидкости в тех местах, где скорость течения меньше, давление в жидкости больше и, наоборот, там, где скорость течения больше, давление в жидкости меньше. К этому выводу впервые пришел Бернулли, поэтому данный закон называется законом Бернулли .

Разборка решения задач:

ЗАДАЧА 1. Вода течет в горизонтально расположенной трубе переменного сечения. Скорость течения в широкой части трубы 20 см/с. Определить скорость течения воды в узкой части трубы, диаметр которой в 1,5 раза меньше диаметра широкой части.

ЗАДАЧА 2. В горизонтально расположенной трубе сечением 20 см2 течет жидкость. В одном месте труба имеет сужение сечением 12 см2. Разность уровней жидкости в манометрических трубках, установленных в широкой и узкой частях трубы, равна 8 см. Определить объемный расход жидкости за 1 с.

ЗАДАЧА 3. К поршню спринцовки, расположенной горизонтально, приложена сила 15 Н. Определить скорость истечения воды из наконечника спринцовки, если площадь поршня 12 см2.

Гидравлические сопротивления.

При течении жидкости по трубам ей приходится затрачивать энергию на преодоление сил внешнего и внутреннего трения. В прямых участках труб эти силы сопротивления действуют по всей длине потока и общая потеря энергии на их преодоление прямо пропорциональна длине трубы. Такие сопротивления называются линейными. Их величина (потеря давления) зависит от плотности и вязкости жидкости, а также от диаметра трубы (чем меньше диаметр, тем больше сопротивление), скорости течения (увеличение скорости увеличивает потери) и чистоты внутренней поверхности трубы (чем больше шероховатость стенок, тем больше сопротивление).

Кроме трения в прямых участках, в трубопроводах встречаются дополнительные сопротивления в виде поворотов потока, изменений сечения, кранов, ответвлений и т. п. В этих случаях структура потока нарушается и его энергия затрачивается на перестроение, завихрения, удары. Такие сопротивления называют местными. Линейные и местные сопротивления являются двумя разновидностями так называемых гидравлических сопротивлений, определение которых составляет основу расчета любых гидравлических систем.

Режимы течения жидкости.. В практике наблюдаются два характерных режима течения жидкостей: ламинарный и турбулентный.

При ламинарном режиме элементарные струйки потока текут параллельно, не перемешиваясь. Если в такой поток ввести струйку окрашенной жидкости, то она будет продолжать свое течение в виде тонкой нити среди потока неокрашенной жидкости, не размываясь. Такой режим течения возможен при очень малых скоростях потока. С увеличением скорости выше определенного предела течение становится турбулентным, вихреобразным, при котором жидкость в пределах поперечного сечения трубопровода интенсивно перемешивается. При постепенном увеличении скорости окрашенная струйка в потоке сначала начинает колебаться относительно своей оси, затем в ней появляются разрывы из-за перемешивания с другими струями и затем вследствие этого весь поток получает равномерную окраску.

Наличие того или иного режима течения зависит от величины отношения кинетической энергии потока 1 1

(■п-гпи2=ч-рУи2) к работе сил внут-реннего трения (/7 = р„5^/)-см. (2.9).

Это безразмерное отношение

^-pVv21 (р,5^/) можно упростить имея в виду, что Ды пропорционально V. Величины 1 и А/г также имеют одну и ту же размерность, и их можно сократить, а отношение объема V к поперечному сечению 5 является линейным размером й.

Тогда отношение кинетической энергии к работе сил внутреннего трения с точностью до постоянных множителей можно характеризовать безразмерным комплексом:

который называется числом (или критерием) Рейнольдса в честь английского физика Осборна Рейнольдса, в конце прошлого века экспериментально наблюдавшего наличие двух режимов течения.

Малые значения чисел Рейнольдса свидетельствуют о преобладании работы сил внутреннего трения в потоке жидкости и соответствуют ламинарному течению. Большие значения Йе соответствуют преобладанию кинетической энергии и турбулентному режиму течения. Граница начала перехода одного режима в другой - критическое число Рейнольдса - составляет 1?екр = 2300 для круглых труб (в качестве характерного размера принимается диаметр трубы).

В технике, в том числе и тепловозной, в гидравлических (в том числе воздушных и газовых) системах обычно имеет место турбулентное течение жидкостей. Ламинарный режим бывает лишь у вязких жидкостей (например, масло) при малых скоростях течения и в тонких каналах (плоские трубки радиатора).

Расчет гидравлических сопротивлений. Линейные потери напора определяются по формуле Дарси-Вейсбаха:

где X («лямбда») - коэффициент линейного сопротивления, зависящий от числа Рейнольдса. Для ламинарного потока в круглой трубе Я, = 64/Ие (зависит от скорости), для турбулентных потоков величина к мало зависит от скорости и, главным образом, определяется шероховатостью стенок труб.

Местные потери напора также считаются пропорциональными квадрату скорости и определяются так:

где £ («дзета») - коэффициент местного сопротивления, зависящий от типа сопротивления (поворот, расширение и т. п.) и от его геометрических характеристик.

Коэффициенты местного сопротивления устанавливаются опытным путем, их значения приводятся в справочниках.

Понятие о расчете гидравлических систем. При расчете любой гидравлической системы решается обычно одна из двух задач: определение необходимого перепада давлений (напора) для пропуска данного расхода жидкости или определение расхода жидкости в системе при заданном перепаде давлений.

В любом случае должна быть определена полная потеря напора в системе АН, которая равна сумме сопротивлений всех участков системы, т. е. сумме линейных сопротивлений" всех прямых участков трубопроводов и местных сопротивлений других элементов системы:

Если во всех участках трубопровода средняя скорость течения одинакова, уравнение (2.33) упрощается:

Обычно в системе имеются участки, скорости течения в которых отличаются друг от друга. В этом случае удобно привести уравнение (2.33) к другой форме, учитывая что расход жидкости постоянен для всех элементов системы (без ответвлений). Подставив в условие (2.33) значения и = С}/5, получим

гидравлическая характеристика, или общий коэффициент сопротивления системы.

Необходимо иметь в виду, что расчет трубопроводов не является решением задачи с одним определенным ответом. Его результаты зависят от выбора величины диаметров участков трубопровода или скоростей в них. Действительно, можно принять в расчете невысокие значения скоростей и получить небольшие потери напора. Но тогда при заданном расходе сечения трубопроводов (диаметры) должны быть большими, система будет громоздкой и тяжелой. Приняв высокие скорости течения в трубах, мы уменьшим их поперечные размеры, но при этом существенно (пропорционально квадрату скорости) возрастут потери напора и затраты энергии на работу системы. Поэтому при расчетах обычно задаются какими-то средними, «оптимальными», значениями скоростей течения жидкости. Для водяных систем оптимальная скорость имеет порядок примерно 1 м/с, для воздушных систем низкого давления - 8- 12 м/с.

Гидравлический удар представляет собой явление, происходящее в потоке жидкости при быстром изменении скорости его течения (например, при резком закрытии задвижки в трубопроводе или остановке насоса). В этом случае кинетическая энергия потока мгновенно переходит в потенциальную энергию и давление потока перед задвижкой резко возрастает. Область повышенного давления затем распространяется от задвижки в сторону еще не заторможенного полностью потока со скоростью, близкой к скорости звука а в этой среде.

Резкое повышение давления приводит если не к разрушению, то к упругой деформации элементов трубопровода, что уменьшает силу удара, но усиливает колебания давления жидкости в трубе. Величина скачка давления при полной остановке потока жидкости, имевшего скорость v, определяется по формуле выдающегося русского ученого - профессора Н. Е. Жуковского, полученной им в 1898 г.: Др = раа, где р - плотность жидкости.

С целью предотвращения ударных явлений в крупных гидравлических системах (например, водопроводных сетях) запорные устройства выполняют так, чтобы их закрытие происходило постепенно.

При движении жидкости в круглой трубе скорость равна нулю у стенок трубы и максимальна на оси трубы. Полагая течение ламинарным, найдем закон изменения скорости с расстоянием от оси трубы.

Выделим воображаемый цилиндрический объем жидкости радиуса и длины l (рис. 77.1). При стационарном течении в трубе постоянного сечения скорости всех частиц жидкости остаются неизменными. Следовательно, сумма внешних сил, приложенных к любому объему жидкости, равна нулю. На основания рассматриваемого цилиндрического объема действуют силы давления, сумма которых равна Эта сала действует в направлении движения жидкости. Кроме того, на боковую поверхность цилиндра действует сила трения, равная (Имеется в виду значение на расстоянии от оси трубы). Условие стационарности имеет вид

Скорость убывает с расстоянием от оси трубы. Следовательно, отрицательна и Учтя это, преобразуем соотношение (77.1) следующим образом:

Разделив переменные, получим уравнение:

Интегрирование дает, что

Постоянную интегрирования нужно выбрать так, чтобы скорость обращалась в нуль на стенках трубы, т. е. - радиус трубы).

Из этого условия

Подстановка значения С в (77.2) приводит к формуле

Значение скорости на оси трубы равно

С учетом этого формуле (77.3) можно придать вид

Таким образом, при ламинарном течении скорость изменяется с расстоянием от оси трубы по параболическому закону (рис. 77.2).

При турбулентном течении скорость в каждой точке меняется беспорядочным образом. При неизменных внешних условиях постоянной оказывается средняя (по времени) скорость в каждой точке сечения трубы. Профиль средних скоростей при турбулентном течении изображен на рис. 77.3. Вблизи стенок трубы скорость изменяется гораздо сильнее, чем при ламинарном течении, в остальной же части сечения скорость изменяется меньше.

Полагая течение ламинарным, вычислим поток жидкости Q, т. е. объем жидкости, протекающий через поперечное сечение трубы за единицу времени. Разобьем поперечное сечение трубы на кольца ширины (рис. 77.4). Через кольцо радиуса пройдет за секунду объем жидкости, равный произведению площади кольца на скорость течения в точках, находящихся на расстоянии от оси трубы.

Приняв во внимание формулу (77.5), получим:

Чтобы получить поток Q, нужно проинтегрировать выражение (77.6) по в пределах от нуля до R: я 9

Площадь сечения трубы). Из формулы (77.7) следует, что при ламинарном течении среднее (по сечению) значение скорости равно половине значения скорости на. оси трубы.

Подставив в (77.7) значение (77.4) для

Получим для потока формулу

Эта формула называется формулой Пуазейля. Согласно (77.8) поток жидкости пропорционален перепаду давления на единице длины трубы, пропорционален четвертой степени радиуса трубы и обратно пропорционален коэффициенту вязкости жидкости. Напомним, что формула Пуазейля применима только при ламинарном течении.

Соотношение (77.8) используется для определения вязкости жидкостей. Пропуская жидкость через капилляр известного радиуса и измеряя перепад давления и поток Q, можно найти

Средняя скорость по глубине представляет собой отношение площади годографа к максимальной глубине реки. Площадь годографа можно вычислить либо по палетке, либо так как вычисляется площадь живого сечения реки (см. задание 2).

Задание 2

Определите площадь живого сечения реки используя данные таблицы 8:

Таблица 8

Глубина реки по поперечному сечению

I вариант		II вариант
	Глубина реки, м	Расстояние от постоянного начала створа, м	Глубина реки, м

Площадь живого сечения реки вычисляется как сумма ряда элементарных геометрических фигур (рис.9).

Фигуры А 1 А 2 В 1 и А 5 В 4 А 6 представляют собой треугольники, площадь каждого из них равна половине произведения основания на высоту. Остальные фигуры - трапеции. Площадь каждой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Рис. 9. Поперечное сечение реки

Точки А 1 , А 2 , А 3 и т.д., в которых проводились измерения глубины, называются промерными точками. Начальная точка, от которой производят измерения А 1, называется постоянным началом створа.

Задание 3

Вычислите расходы воды в реке, если известно, что площадь живого сечения составляет 42,2 м 2 , максимальная скорость воды в реке 0,5 м/с, средняя глубина реки 4, 5 м.

Вычисление средней скорости реки по максимальной поверхностной производится по формуле:

,

где, V ср - средняя скорость; V мах - максимальная скорость, К – коэффициент перехода максимальной скорости к средней. Коэффициент К представлен в табл. 9.

Таблица 9

Значения коэффициента перехода от максимальной скорости к средней

Задание 4

Определить по формуле Шези (
, гдеС скоростной коэффициент, R – гидравлический радиус, i – средний уклон реки), среднюю скорость реки, если известно, что на данном отрезке дно русла сложено песчаным материалом, встречаются острова и отмели. Средний уклон реки – 0,000056, гидравлически радиус – 1,8 м.

Скоростной коэффициент С в формуле Шези определяется по формуле Базена
.

Коэффициент шероховатости y определяется по таблице 10.

Скорости течения в реках неодинаковы в различных точках потока: они изменяются и по глубине, и по ширине живого сечения. Наименьшие скорости наблюдаются у дна, что связано с влиянием шероховатости русла. От дна к поверхности нарастание скорости сначала происходит быстро, а затем замедляется, и максимум в открытых потоках достигается у поверхности или на расстоянии 0,2H от поверхности. Кривые изменения скоростей по вертикали называются годографами илиэпюрами скоростей . На распределение скоростей по вертикали большое влияние оказывают неровности в рельефе дна, ледяной покров, ветер и водная растительность. При наличии на дне неровностей (возвышения, валуны) скорости в потоке перед препятствием резко уменьшаются ко дну. Уменьшаются скорости в придонном слое при развитии водной растительности, значительно повышающей шероховатость дна русла. Зимой подо льдом под влиянием добавочного трения о шероховатую поверхность льда скорости малы. Максимум скорости смещается к середине глубины и иногда ко дну. При ветре против течения скорости у поверхности уменьшаются, а положение максимума смещается на бОльшую глубину по сравнению с его положением в безветренную погоду.

У берегов скорость меньше, в центре потока больше. Линии, соединяющие точки на поверхности реки с наибольшими скоростями, называются стрежнем . Знание положения стрежня имеет большое значение при использовании рек для целей водного транспорта и лесосплава. Наглядное представление о распределении скоростей в живом сечении можно получить построением изотах – линий, соединяющих точки с одинаковыми скоростями.

Для вычисления средней скорости потока при отсутствии непосредственных измерений широко применяется формула Шези. Выделим в потоке объем воды, ограниченный двумя сечениями ω. Величина объема V = ωΔx, где Δx – расстояние между сечениями. Объем находится под влиянием равнодействующей силы гидродинамического давления P, действия силы тяжести F’ и силы сопротивления (трения) T. Сила гидродинамического давления P=0, так как силы давления P 1 и P 2 при равенстве сечений и постоянном уклоне уравновешиваются. Т.о., V ср = C , где H – средняя глубина, I – уклон. – Уравнение Шези. Формула Манинга: . Формула Н. Н. Павловского: , где n – коэффициент шероховаточти, находится по специальным таблицам М. Ф. Срибного.

Движения воды в реках. Виды движения.

Вода в реках движется под действием силы тяжести F’. Эту силу можно разложить на две составляющие: параллельную дну F’ x и нормальную ко дну F’ y . Сила F’ y уравновешивается силой реакции со стороны дна. Сила F’ x , зависящая от уклона, вызывает движение воды в потоке. Эта сила, действуя постоянно, должна бы вызывать ускорение движения. Этого не происходит, так как она уравновешивается силой сопротивления, возникающей в потоке в результате внутреннего трения между частицами воды и трения движущейся массы воды о дно и берега. Изменение уклона, шероховатости дна, сужения и расширения русла вызывают изменения соотношения движущей силы и силы сопротивления, что приводит к изменению скоростей течения по длине реки и в живом сечении.

Виды движения в потоках :

1) равномерное ,

2) неравномерное ,

3) неустановившееся .

При равномерном движении скорости течения, живое сечение, расход волны постоянны по длине потока и не меняются во времени. Такого рода движение можно наблюдать в каналах с призматическим сечением. При неравномерном уклон, скорости, живое сечение не изменяются в данном сечении во времени, но изменяются по длине потока. Этот вид движения наблюдается в реках в период межени при устойчивых расходах воды в них, а также в условиях подпора, образованного плотиной. Неустановившееся движение – это такое, при котором все гидравлические элементы потока (уклоны, скорости, площадь живого сечения) на рассматриваемом участке изменяются и во времени, и по длине. Неустановившееся движение характерно для рек во время прохождения половодий и паводков.

При равномерном движении уклон поверхности потока I равен уклону дна i и водная поерхность параллельна выровненной поверхности дна. Неравномерное движение может быть замедленным и ускоренным. При замедляющемся течении вниз по реке кривая свободной водной поверхности принимает форму кривой подпора. Поверхностный уклон становится меньше уклона дна (I), и глубина возрастает в направлении течения. При ускоряющемся течении кривая свободной поверхности потока называется кривой спада; глубина убывает вдоль потока, скорость и уклон возрастают (I>i ).

Рейнольдса число, один из подобия критериев для течений вязких жидкостей и газов, характеризующий соотношение между инерционными силами и силами вязкости: Re =rvl /m, где r - плотность, m - динамический коэффициент вязкости жидкости или газа, v - характерная скорость потока, l - характерный линейный размер. Так, при течении в круглых цилиндрических трубах обычно принимают l = d , где d - диаметр трубы, а v = v cp , где v cp - средняя скорость течения; при обтекании тел / - длина или поперечный размер тела, а v = v ¥ , где v ¥ - скорость невозмущённого потока, набегающего на тело. Назван по имени О. Рейнольдса.

От Р. ч. зависит также режим течения жидкости, характеризуемый критическим Р. ч. Re kр . При R <Re kр возможно лишь ламинарное течение жидкости, а при Re > Re kр течение может стать турбулентным. Значение Re kр зависит от вида течения. Например, для течения вязкой жидкости в круглой цилиндрической трубке Re kр = 2300.

Распределение скоростей течения в речном потоке.

Одной из особенностей движения частиц воды в реках являются нерегулярные случайные изменения скоростей. Непрерывные изменения направления и величины скоростей в каждой точке турбулентного потока называются пульсацией. Чем больше скорость, тем больше турбулентная пульсация. Тогда в каждой точке потока и в каждый момент времени мгновенная скорость течения – это вектор. Его можно разложить на составляющие в прямоугольной системе координат (υ x , υ y , υ z,), они тоже будут пульсирующими. Большинством гидрометрических приборов измеряется продольная составляющая скорости (υ x), осредненная за некоторый интервал времени (на практике 1-1,5 минуты).

Скорости меняются по глубине и ширине живого сечения реки. На каждой отдельно взятой вертикали наименьшая скорость отмечается у дна, что зависит от шероховатости русла. К поверхности скорость растет до величины средней по вертикали на глубине 0,6h, а максимум отмечается на поверхности или на расстоянии 0,2h от поверхности, в открытом русле. График изменения скорости по глубине называется годографом (эпюрой скоростей).

Распределение скорости по глубине зависит от рельефа дна, наличия ледяного покрова, ветра и водной растительности. Наличие валунов, больших камней и водной растительности у дна приводит к резкому уменьшению скорости в придонном слое. Ледяной покров и шуга также уменьшают скорость, но в слое воды подо льдом. Средняя скорость на вертикали определяется делением площади эпюры на глубину вертикали.

По ширине потока скорость повторяет в основном изменение глубины – от берегов скорость увеличивается к средине. Линия, соединяющая точки с наибольшими скоростями по длине реки, называется стрежень (линия наибольших глубин).

Распределение скоростей в плане можно отразить изотахами – линиями, соединяющими точки с равными скоростями в живом сечении.

Линия, соединяющая вдоль реки точки отдельных живых сечений с максимальными скоростями, называется динамической осью потока.