Рассмотренные ниже примеры дают результаты, которыми можно непосредственно пользоваться при решении задач.

1. Работа силы тяжести. Пусть точка М, на которую действует сила тяжести Р, перемещается из положения в положение Выберем координатные оси так, чтобы ось была направлена вертикально вверх (рис. 231). Тогда . Подставляя эти значения в формулу (44), получим, учитывая, что переменным интегрирования является :

Если точка выше , то , где h - вертикальное перемещение точки; если же точка ниже точки то .

Окончательно получаем

Следовательно, работа силы тяжести равна взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения. Работа положительна, если начальная точка выше конечной, и отрицательна, если начальная точка ниже конечной.

Из полученного результата следует, что работа силы тяжести не зависит от вида той траектории, по которой перемещается точка ее приложения. Силы, обладающие таким свойством, называются потенциальными (см. § 126).

2. Работа силы упругости. Рассмотрим груз М, лежащий на горизонтальной плоскости и прикрепленный к свободному концу некоторой пружины (рис. 232, а). На плоскости отметим точкой О положение, занимаемое концом пружины, когда она не напряжена - длина ненапряженной пружины), и примем эту точку за начало координат. Если теперь оттянуть груз от равновесного положения О, растянув пружину до величины I, то пружина получит удлинение и на груз будет действовать сила упругости F, направленная к точке О. Так как в нашем случае то по формуле (6) из § 76

Последнее равенство справедливо и при (груз левее точки О); тогда сила F направлена вправо и получится, как и должно быть,

Найдем работу, совершаемую силой упругости при перемещении груза из положения в положение

Так как в данном случае то, подставляя эти значения в формулу (44), найдем

(Этот же результат можно получить по графику зависимости F от (рис. 232, б), вычисляя площадь а заштрихованной на чертеже трапеции и учитывая знак работы.) В полученной формуле представляет собой начальное удлинение пружины - конечное удлинение пружины Следовательно,

т. е. работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начального и конечного удлинений (или сжатий) пружины.

Работа будет положительной, когда т. е. когда конец пружины перемещается к равновесному положению, и отрицательной, когда т. е. когда конец пружины удаляется от равновесного положения.

Можно доказать, что формула (48) остается справедливой и в случае, когда перемещение точки М не является прямолинейным. Таким образом, оказывается, что работа силы F зависит только от значений и и не зависит от вида траектории точки М. Следовательно, сила упругости также является потенциальной.

3. Работа силы трения. Рассмотрим точку, движущуюся по какой-нибудь шероховатой поверхности (рис. 233) или кривой. Действующая на точку сила трения равна по модулю где f - коэффициент трения, а N - нормальная реакция поверхности. Направлена сила трения противоположно перемещению точки. Следовательно, и по формуле (44)

Если численно сила трения постоянна, то где s - длина дуги кривой , по которой перемещается точка.

Таким образом, работа силы трения при скольжении всегда отрицательна. Так как эта работа зависит от длины дуги то, следовательно, сила трения является силой непотенциальной.

4. Работа силы тяготения Если Землю (планету) рассматривать как однородный шар (или шар, состоящий из однородных концентрических слоев), то на точку М с массой , находящуюся вне шара на расстоянии от его центра О (или находящуюся на поверхности шара), будет действовать сила тяготения F, направленная к центру О (рис. 234), значение которой определяется формулой (5) из § 76. Представим эту формулу в виде

н определим коэффициент k из того условия, что, когда точка находится на поверхности Земли (r = R, где R - радиус Земли), сила притяжеиия равна mg, где g - ускорение силы тяжести (точнее силы тяютения) на земной поверхности. Тогда должно быть

Сумма работ внутренних сил системы в общем случае отлична от нуля.

Если материальная система представляет собой абсолютно твердое тело, то сумма работ внутренних сил равна нулю.

Работа любой силы равна нулю, если сила приложена в неподвижной точке, скорость которой равна нулю в данный момент времени.

Работа внутренних сил натяжений гибких нерастяжимых тросов, канатов и т.п. равна нулю.

Работа силы тяжести равна произведению веса материальной системы на вертикальное перемещение центра масс, взятому со знаком «плюс», если центр масс опускается, и со знаком «минус», если центр масс поднимается: А=± Mgh c , где М – масса материальной системы, кг ; h c – вертикальное перемещение центра масс, м ; g – ускорение свободного падения, м/с 2 .

Работа силы, приложенной к вращающемуся вокруг оси абсолютно твердому телу , равна: А=± M П (φ-φ 0 ) , где M П - момент пары сил, приложенной к телу, Нм ; φ-φ 0 – значение конечного угла поворота тела.

Работа силы трения : А= - F тр · S , где S - перемещение, м . Работа силы трения всегда отрицательна.

Работа сил упругости пружины : А=0,5с∙(λ 2 0 - λ 2 1 ) , где с - коэффициент жесткости пружины; λ - удлинение пружины, м. Работа положительна при λ 0 > λ 1 и отрицательна при λ 0 < λ 1 .

5.3.3. Задание д -2. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы

Дано . Механическая система состоит из катков 1 и 2 (или катка и подвижного блока), ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R 3 = 0,3 м, r 3 = 0,1 м и радиусом инерции относительно оси вращения ρ 3 = 0,2 м , блока 4 радиуса R 4 = 0,2 м и грузов 5 и 6 (рис. Д 2.0 – Д 2.9, табл. Д-2); тела 1 и 2 считать сплошными однородными цилиндрами, а массу блока 4 – равномерно распределенной по ободу. Коэффициент трения грузов о плоскость f =0,1 . Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3 (или на шкив и каток); участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К одному из тел прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с .

Под действием силы F = f ( s ), зависящей от перемещения s точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя; деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный момент М сил сопротивления (от трения в подшипниках).

Все катки катятся по плоскостям без скольжения.

Если по заданию массы грузов 5 и 6 или массы катков 1 (рис. Д 2.0-2.4) и 2 (рис. Д 2.5-2.9) равны нулю, то на чертеже их можно не изображать.

Определить : значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение s станет равным s 1 = 0,2 м . Искомая величина указана в столбце «Найти» таблицы Д 2, где обозначено: ω 3 – угловая скорость тела 3 ; ε 4 – угловое ускорение тела 4 ; v 5 – скорость тела 5 ; а с2 - ускорение центра масс тела 2 и т.п.

Указания. При решении задачи учесть, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в систему тел; эту энергию следует выразить через ту скорость (линейную или угловую), которую в задаче надо определить. При вычислении энергии для установления зависимости между скоростями точек тела, движущегося плоскопараллельно, или между его угловой скоростью и скоростью центра масс воспользоваться мгновенным центром скоростей. При вычислении работы необходимо все перемещения выразить через заданное перемещение s 1 , учитывая при этом, что зависимость между перемещениями здесь будет такой же, как между соответствующими скоростями.

Известную формулу из физики A = Fs для определения работы силы можно использовать лишь тогда, когда на тело воздействует постоянная сила, направленная по направлению движения. Однако часто требуется определить работу тогда, когда сила изменяется с пройденным путём. Например, чтобы растянуть пружину, нужно приложить силу, которая пропорциональна пройденному пути - удлиннению пружины.

Пусть тело перемещается по отрезку [a , b ] оси Ox , при этом проекция вектора силы на ось Ox является функцией F (x ) аргумента x . Чтобы определить работу, совершённую силой, разделим отрезок [a , b ] на n частей точками a = x 0 < x 1 < x 2 < ...x n = b . Таким образом, всё перемещение тела из a в b состоит из n участков пути.

Приложенная сила A будет равна сумме элементарных работ, совершённых при перемещении тела по каждому из участков пути.

Пример 1. Сжатие S винтовой пружины пропорционально приложенной силе F . Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 5 см, если для сжатия её на 1 см нужна сила в 1 кг.

Решение. Сила F и перемещение S связаны по условию зависимостью F =kS , где k - постоянная. Будем выражать S в метрах, F - в килограммах. При S =0,01 F =1, то есть 1=k *0,01, откуда k =100, F =100S .

По формуле (1) определяем работу силы:

Пример 2. Сила F , с которой электрический заряд e 1 отталкивает заряд e 2 (того же знака), находящийся от него на расстоянии r , выражается формулой

где k - постоянная.

Вычислить работу силы F при перемещении заряда e 2 из точки A 1 , отстоящей от e 1 на расстоянии r 1 , в точку A 2 , отстоящую от e 1 на расстоянии r 2 , полагая, что заряд e 1 помещён в точке A 0 , принятой за начала отсчёта.

Решение. По формуле (1) вычисляем работу силы:

.

При получим

.

При получим . Последняя величина называется потенциалом поля, создаваемого зарядом e 1 .

Пример 3. Вычислить работу, которую нужно совершить, чтобы вытащить шарик массой 9 г из бочки, высота которой 3 м.

Вывод формулы для расчета работы сил поля при перемещении зарядов. Понятие потенциала, потенциальный характер электростатического поля. Связь между напряженностью и потенциалом. Потенциал поля плоского конденсатора, заряженной нити, цилиндрического и сферического конденсаторов.

4. 1. Вывод формулы для расчета работы сил поля при перемещении зарядов. 4. 2. Понятие потенциала, потенциальный характер электростатического поля. 4. 3. Связь между напряженностью и потенциалом. 4. 4. Потенциал поля плоского конденсатора, заряженной нити, цилиндрического и сферического конденсаторов.

4. 1. Вывод формулы для расчета работы сил поля при перемещении зарядов. Пусть имеется точечный положительный заряд. Рассчитаем работу по перемещению из точки 1 в точку 2. Рис. 4. 1. Перемещение точечного положительного заряди из точки 1 в точку 2.

(4. 1) Вывод: работа по перемещению заряда из одной точки поля в другую равна произведению величины этого заряда на разность потенциалов начальной и конечной точек траектории. К оглавлению

4. 2. Понятие потенциала, потенциальный характер электростатического поля. может служить характеристикой поля. Т. к. при функциональная часть выражения (4. 2) , то примем const = 0. Получим (4. 3) Эта величина получила название потенциал поля точечного заряда. (4. 4) (4. 5)

Потенциалом поля в данной точке называется физическая величина, численно равная работе по переносу единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность. Работа сил электростатического поля равна убыли потенциальной энергии, т. е. (4. 6) (4. 7) Тогда, сравнив (4. 4) и (4. 6), получим Т. к. при (4. 8) , то Потенциалом поля в данной точке называется физическая величина, численно равная потенциальной энергии, которая приобретается единичным положительным зарядом при переносе из бесконечности в данную точку поля. Выясним свойства потенциального электростатического поля. (4. 9) Рис. 4. 2.

1. Работа по переносу из одной точки электрического поля в другую не зависит от формы траектории. (4. 10) 2. Работа по переносу заряда вдоль замкнутого пути равна нулю. 1 и 2 отражают потенциальный характер поля. 3. В электрическом поле циркуляция вектора напряженности вдоль замкнутого контура равна нулю.

Эквипотенциальные поверхности. Приставка экви- означает равный. Эквипотенциальная поверхность - это поверхность, состоящая из точек, имеющих одинаковый потенциал. Для геометрического описания электрического поля наряду с силовыми линиями используют и эквипотенциальные поверхности. 1. Силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Рис. 4. 3. Эквипотенциальные поверхности 2. Работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю.

Опыт 4. 1. Демонстрация эквипотенциальных поверхностей. Цель: Демонстрация эквипотенциальных поверхностей. Оборудование: 1. Электрометр демонстрационный. 2. Конусообразный кондуктор на изолирующем штативе. 3. Эбонитовая палочка. 4. Шерсть. 5. Шарик пробный на изолирующей ручке. 6. Два проводника: один – длиной 1, 5 - 2 м гибкий, другой – для заземления электрометра. Рис. 4. 4. Установка Ход работы: Пробный шарик с длинным проводником соединён со стержнем электроскопа, корпус заземлён. Заряжаем кондуктор и шарик перемещаем по всей поверхности (наружной и внутренней) кондуктора. Показания электрометра не меняются. Выводы: поверхность заряженного проводника всюду имеет одинаковый потенциал. К оглавлению

4. 3. Связь между напряженностью и потенциалом. Пусть имеется векторное поле и некоторое скалярное поле (4. 11) Известно, что между напряженностью и потенциалом электростатического поля существует связь: (4. 12) К оглавлению

4. 4. Потенциал поля плоского конденсатора, заряженной нити, цилиндрического и сферического конденсаторов. Однородный плоский конденсатор. (4. 13) Рис. 4. 4. Однородный плоский конденсатор Задание для самостоятельной работы. Используя материал лекций 3 и 4 вывести формулы, описывающие потенциал поля заряженной нити, цилиндрического и сферического конденсаторов. К оглавлению

Для цилиндрического конденсатора мы знаем что найдем разность потенциалов между обкладками конденсатора путем интегрирования Если зазор между обкладками относительный, т. е. выполняется условие в этом случае Рис. 4. 5

Для сферического конденсатора Рис. 4. 6 Для заряженной нити, где R – толщина нити Рис. 4. 7