Решим систему уравнений с параметром (А. Ларин, вариант 98)

Найдите все значения параметра , при каждом из которых система

имеет ровно одно решение.

Посмотрим внимательно на систему. В первом уравнении системы слева стоит , а правая часть не зависит от параметра. То есть мы можем рассматривать это уравнение как уравнение функции

и можем построить график этой функции.

Второе уравнение системы

зависит от параметра, и, выделив в левой части уравнения полный квадрат, мы получим уравнение окружности.

Так что имеет смысл построить графики каждого уравнения, и посмотреть, при каком значении параметра эти графики имеют одну точку пересечения.

Начнем с первого уравнения. Для начала раскроем модули. Для этого приравняем каждое подмодульное выражение к нулю, чтобы найти точки, в которых происходит смена знака.

Первое подмодульное выражение меняет знак при , второе - при .

Нанесем эти точки на координатную прямую, и найдем знаки каждого подмодульного выражения на каждом промежутке:

Заметим, что при и уравнение не имеет смысла, поэтому эти точки выкалываем.

Теперь раскроем модули на каждом промежутке. (Вспомним: если подмодульное выражение больше или равно нулю, то мы раскрываем модуль с тем же знаком, а если меньше нуля, то с противоположным.)

Оба подмодульных выражения отрицательны, следовательно, оба модуля раскрываем с противоположным знаком:

То есть при исходная функция имеет вид

На этом промежутке первое подмодульное выражение отрицательно, а второе положительно, следовательно получаем:

- на этом промежутке функция не существует.

3. title="x>2">

На этом промежутке оба подмодульных выражения положительны, раскрываем оба модуля с тем же знаком. Получаем:

То есть при title="x>2"> исходная функция имеет вид

Итак, мы получили график функции

Теперь займемся вторым уравнением:

Выделим в левой чаcти уравнения полный квадрат, для этого прибавим к обеим частям уравнения число 4:

При конкретном значении параметра график этого уравнения представляет собой окружность с центром в точке с координатами , радиус которой равен 5. При различных значениях мы имеем серию окружностей:

Будем двигать окружность снизу вверх до тех пор, пока она не коснется левой части графика первой функции. На рисунке эта окружность красного цвета. Центр этой окружности - точка , ее координаты (-2;-3). Дальше при движении вверх окружность имеет одну точку пересечения с левой частью графика функции, то есть система имеет единственное решение.

Продолжаем двигать окружность вверх пока она не коснется правой части графика первой функции. Это произойдет когда центр окружности будет в точке с координатами (-2;0) - на рисунке эта окружность синего цвета.

При движении дальше вверх окружность будет пересекать и левую, и правую части графика первой функции, то есть окружность будет иметь две точки пересечения с графиком первой функции, а система будет иметь два решения. Это ситуация продолжается до тех пор, пока центр окружности не окажется в точке с координатами (-2; 5) - эта окружность зеленого цвета. В этой точке окружность касается левой части графика и пересекает правую. То есть система имеет одно решение.

Итак, система имеет единственное решение при (-3;0]; если значения параметра а будут больше одного, то уравнение будет иметь два корня.

Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения с параметром?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Уравнение вида f (x ; a ) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а .

Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х , удовлетворяющие этому уравнению.

Пример 1. ах = 0

Пример 2. ах = а

Пример 3.

х + 2 = ах
х – ах = -2
х(1 – а) = -2

Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х 0 = -2 корней нет

Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =

Пример 4.

(а 2 – 1) х = 2а 2 + а – 3
(а – 1)(а + 1)х = 2(а – 1)(а – 1,5)
(а – 1)(а + 1)х = (1а – 3)(а – 1)

Если а = 1, то 0х = 0
х – любое действительное число

Если а = -1, то 0х = -2
Корней нет

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х .

Например:

если а = 5, то х = = ;

если а = 0, то х = 3 и т. д.

Дидактический материал

1. ах = х + 3

2. 4 + ах = 3х – 1

3. а = +

при а = 1 корней нет.

при а = 3 корней нет.

при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1

при а = -1, а = 0 решений нет.

при а = 0, а = 2 решений нет.

при а = -3, а = 0, 5, а = -2 решений нет

при а = -с , с = 0 решений нет.

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Решить уравнение

(а – 1)х 2 = 2(2а + 1)х + 4а + 3 = 0

При а = 1 6х + 7 = 0

В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16

20а + 16 = 0

20а = -16

Если а < -4/5, то Д < 0, уравнение имеет действительный корень.

Если а > -4/5 и а 1, то Д > 0,

х =

Если а = 4/5, то Д = 0,

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?

Д = 4(а + 1) 2 – 4(9а – 5) = 4а 2 – 28а + 24 = 4(а – 1)(а – 6)

4(а – 1)(а – 6) > 0

по т. Виета: х 1 + х 2 = -2(а + 1)
х 1 х 2 = 9а – 5

По условию х 1 < 0, х 2 < 0 то –2(а + 1) < 0 и 9а – 5 > 0

В итоге

4(а – 1)(а – 6) > 0 - 2(а + 1) < 0 9а – 5 > 0

а < 1: а > 6 а > - 1 а > 5/9

(Рис. 1 ) < a < 1, либо a > 6

Пример 3. Найдите значения а , при которых данное уравнение имеет решение.

х 2 – 2(а – 1)х + 2а + 1 = 0

Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а

4а 2 – 16 0

4а (а – 4) 0

а(а – 4)) 0

а(а – 4) = 0

а = 0 или а – 4 = 0
а = 4

(Рис. 2 )

Ответ: а 0 и а 4

Дидактический материал

1. При каком значении а уравнение ах 2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?

1. При а = - 1/7, а = 0, а = 1

2. При а = 0

3. При а = 2

4. При а = 10

5. При а = - 2

Показательные уравнения с параметром

Пример 1 .Найти все значения а , при которых уравнение

9 х – (а + 2)*3 х-1/х +2а *3 -2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.

Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х, получим равносильное уравнение

3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2)

Пусть 3 х+1/х = у , тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или

(у – 2)(у – а ) = 0, откуда у 1 =2, у 2 = а .

Если у = 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х = log 3 2 , или х 2 – х log 3 2 + 1 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 3 2 – 4 < 0.

Если у = а , т.е. 3 х+1/х = а то х + 1/х = log 3 а , или х 2 – х log 3 а + 1 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда

Д = log 2 3 2 – 4 > 0, или |log 3 а| > 2.

Если log 3 а > 2, то а > 9, а если log 3 а < -2, то 0 < а < 1/9.

Ответ: 0 < а < 1/9, а > 9.

Пример 2 . При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?

Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t 2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х 1 = -3, х 2 = а = >

а – положительное число.

Ответ: при а > 0

Дидактический материал

1. Найти все значения а, при которых уравнение

25 х – (2а + 5)*5 х-1/х + 10а * 5 -2/х = 0 имеет ровно 2 решения.

2. При каких значениях а уравнение

2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение

4 х - (5а -3)2 х +4а 2 – 3а = 0 имеет единственное решение?

Логарифмические уравнения с параметром

Пример 1. Найти все значения а , при которых уравнение

log 4x (1 + ах ) = 1/2 (1)

имеет единственное решение.

Решение. Уравнение (1) равносильно уравнению

1 + ах = 2х при х > 0, х 1/4 (3)

х = у

ау 2 –у + 1 = 0 (4)

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1990

Крамор В.С . Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – М.: Просвещение, 1990.

Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И . Сборник задач по алгебре. – М.: Просвещение, 1994.

Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. Алгебра и начала анализа. Решение экзаменационных задач. – М.: Дрофа, 1998.

Макарычев Ю.Н. и др. Дидактические материалы по алгебре 7, 8, 9 кл. – М.: Просвещение, 2001.

Саакян С.И., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа для 10–11-х классов. – М.: Просвещение, 1990.

Журналы “Математика в школе”.

Л.С. Лаппо и др. ЕГЭ. Учебное пособие. – М.: Экзамен, 2001–2008.

Замечание . В приведенном примере вычисление всех определителей заканчивалось представлением в виде произведения сомножителей, один из которых (13) сократился при делении. Такая ситуация является весьма общей. Поэтому не надо торопиться перемножать сомножители, хотя чаще всего они не сокращаются.

Задача 4.4. Решить системы уравнений, используя правило Крамера:

	1 + 4x 2 + x 3 = 21			1 + x 2 − x 3 = 2	2x 1 + x 2 + x 3 = 7
				3x 2 − 3x3 = 1
1) 4x1 + 2x2 + x3 = 27					3) x1 + 4x2 − 5x3
	3x 2 + 2x3 = 19			− 2x2 + 3x3 = 7
					4x1 + 10x2 − x3

Решение приведенных задач показывает, что формулы Крамера представляют собой единый и удобный метод отыскания решений систем линейных уравнений.

Указание . Использование формул Крамера значительно упрощается, если надо найти только одно из неизвестных: в этом случае надо сосчитать только два определителя.

2.4.4. Системы уравнений с параметрами

Выше всюду рассматривались системы линейных алгебраических уравнений с фиксированными коэффициентами при неизвестных и правыми частями уравнений. В практических задачах очень часто эти коэффициенты и значения правых частей известны неточно. Поэтому приходится анализировать влияние таких параметров на решение систем.

Пример 4.5. Исследовать зависимость решения системы уравнений

3 x + 8 y = a5 x + 9 y = b

от параметров a и b .

Здесь от параметров зависят только правые части уравнений. Поскольку

							27 − 40 = − 13 ≠ 0

для отыскания решения можно воспользоваться формулами Крамера. Имеем:

∆1				9a − 8b,∆ 2				3b − 5a

x = x

= ∆ 1

9a − 8b

8b − 9a

Y = x

∆ 2 =

5a − 3b

− 13

Подстановкой убеждаемся, что полученное решение верно:

8b − 9a

5a − 3b

a(− 27 + 40)

B(24 − 24)

8b − 9a

5a − 3b

a(− 45 + 45)

− 27)

В частности, если a = 11, b = 14 получаем: x =

8× 14 − 9× 11

1 и y = 1.

y (a , b )

x (a , b )

Таким образом, каждой паре параметров a и b соответствует единственная пара чисел x и y , удовлетворяющая заданной системе уравнений. Это значит, что решением системы уравнений является упорядоченная пара и двух функций от двух переменных (параметров a и b ). Обе функции определены для любых значений этих параметров и линейно зависят от независимых переменных a и b . Кроме того, x – монотонно возрас-

тающая функция b и монотонно убывающая функция a ,					– наоборот,
возрастающая функция a и монотонно убывающая функция b .
Задача 4.5. Найти решение систем уравнений
8 x + 5 y = 2 a + 1	4 x + 9 y = a + b	9x + 4 y
3 x + 2 y = a	3 x + 8 y = 3 a − b	8 x + 3 y

и исследовать зависимость их решения от параметров a и b . Рекомендация . Постройте графики полученных решений x (a , b ) и y (a , b )

как функций переменных параметров a и b . Объясните, почему во всех задачах решения линейно зависят от параметров a и b .

Пример 4.6. Исследовать зависимость решения системы уравнений

			(a + 3) x + 2 ay = 5
от параметров a и b .					x + 5 y = b
В этом примере коэффициенты при неизвестных зависят от параметра
a , а правые части – от параметра b .
Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных:
		a + 3 2			5(a + 3) − 2a = 3(a + 5)

Этот определитель не равен нулю только тогда, когда a ≠ − 5. Поэтому пользоваться формулами Крамера можно только тогда, когда a ≠ − 5. В этом случае:

∆1 =					25 − 2ab , ∆ 2 =		a + 3			Ab + 3b − 5

x = x		25 − 2ab	y = x			3 b − 5 + ab
		3(a + 5)				3(a + 5)

Рассмотрим отдельно случай a = − 5 . Тогда исходная система есть:

− 2 x −10 y = 5 x +5 y = b

− 5 − c x = c , y = 2

Конечно, здесь имеется произвол в выборе значения любой из неизвестных, а решение можно записать и в виде:

x = − 5 2 − 5 c , y = c

Таким образом, зависимость от параметра коэффициентов при неизвестных исходной системы может порождать отсутствие решения или наличие бесконечного множества решений. Обнаруженный факт представляет собой обобщение известного ранее для одного уравнения ax = b и для систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Замечание 1. Введение константы c в решение системы уравнений напоминает произвол в выборе константы интегрирования.

Замечание 2 . Рассмотренный пример показывает, что как и для одного уравнения, для линейных алгебраических систем с большим числом уравнений и неизвестных возможны только три разных случая: единственное решение, отсутствие решения или бесконечно много решений.

Задача 4.6. Исследовать решения системы уравнений:

4 x + 5 ay = 2 a		4 x + 5 ay = 2 a			4 x + 5 ay = 2 a
8 x + 10 y		8 x + 10 y			8 x + 10 y = b

Задача 4.7. Придумать собственную систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными и двумя параметрами и исследовать ее в зависимости от значений параметров.

Вопросы для самостоятельного контроля

1) Что такое минор элемента определителя?

2) Чем отличаются алгебраическое дополнение и минор элемента определителя?

3) Что называется присоединенной матрицей?

4) Как найти присоединенную матрицу для заданной матрицы?

5) Чему равен порядок присоединенной матрицы?

6) В каком случае обратная матрица не существует?

7) Какая матрица называется невырожденной?

8) При каких условиях можно использовать формулы Крамера?

9) Что такое решение системы линейных алгебраических уравнений?

10) Какие определители входят в формулы Крамера?

11) Когда определители зависят от параметров?

12) Может ли произведение присоединенной и исходной матрицы быть скалярной матрицей?

13) Как влияет на результат перестановка множителей при умножении присоединенной и исходной матрицы?

14) Что такое формулы Крамера?

15) При каких условиях решение системы линейных алгебраических уравнений можно найти с помощью правила (формул) Крамера?

Иногда в уравнениях некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами.

Пример: ax+b=c.

В этом уравнении х – неизвестное, a, b,c – коэффициенты, которые могут принимать различные числовые значения. Заданные таким образом коэффициенты называются параметрами .

Одно уравнение с параметрами задает множество уравнений (для всех возможных значений параметров).

Пример: –5х +10=– 1;

x +4y= 0;

–102–1000y= ; и т. д.

это все уравнения, которые задает уравнение с параметрами ax+b=c.

Решить уравнение с параметрами – это значит:

1. Указать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.

2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение определяет корень уравнения.

Обратимся к уже приведенному уравнению с параметрами ax+b=c и решим его.

Если а ¹0, то https://pandia.ru/text/80/014/images/image002_67.gif" width="63" height="41">;

при а=0 и b=c, х – любое действительное число;

при а=0 и b ¹ c, уравнение корней не имеет.

В процессе решения этого уравнения мы выделили значение параметра а=0 , при котором происходит качественное изменение уравнения, такое значение параметра мы в дальнейшем будем называть «контрольным». В зависимости от того, какое уравнение мы имеем, «контрольные» значения параметра находятся по-разному. Рассмотрим различные типы уравнений и укажем способ нахождения «контрольных»значений параметра.

I. Линейные уравнения с параметром и уравнения, приводимые к линейным

В таких уравнениях «контрольными» значениями параметров, как правило, являются значения, обращающие в нуль коэффициенты при х .

Пример 1. : 2а (а –2)х=а– 2

1. «Контрольными» значениями являются значения, удовлетворяющие условию:

2а (а –2)=0

решим это уравнение относительно переменной а .

2а= 0 или а –2= 0, откуда а= 0, а= 2.

2. Решим первоначальное уравнение при «контрольных» значениях параметра.

При а= 0 имеем 0×х=– 2, но это не имеет место ни при каких действительных значениях х , то есть в этом случае уравнение корней не имеет.

При а= 2 имеем 0×х= 0, это справедливо при любом значении х , значит, корнем уравнения является любое действительное число х .

3. Решим первоначальное уравнение, в случае, когда а ¹ 0 и а ¹ 2, тогда 2а (а –2)¹ 0 и обе части уравнения можно поделить на 2а (а –2), получим:

Так как а ¹ 2, то дробь можно сократить на (а –2), тогда имеем .

Ответ: при а= 0, корней нет;

при а= 2, корень – любое действительное число;

при а ¹ 0, а ¹ 2, .

Можно представить алгоритм решения такого типа уравнений.

1. Определить «контрольные» значения параметра.

2. Решить уравнение относительно х , при контрольных значениях параметра.

3. Решить уравнение относительно х , при значениях, отличных от «контрольных».

4. Записать ответ в виде:

Ответ: 1) при значениях параметра... , уравнение имеет корни... ;

2) при значениях параметра... , уравнение имеет корни... ;

3) при значениях параметра... , уравнение корней не имеет.

Пример 2. Решить уравнение с параметром

(а 2–2а +1)х=а 2+2а– 3

1. Найдем контрольные значения параметра

а 2–2а +1=0 Û (а –1)2=0 Û а =1

2. Решим уравнение при а= 1

0×х= (1+2×1–3) Û 0×х= 0 Þ х – любое действительное число.

3. Решим уравнение при а ¹ 1

а 2–2а +1¹ 0 Þ https://pandia.ru/text/80/014/images/image006_39.gif" width="115" height="45 src=">

так как а ¹ 1, дробь можно сократить

https://pandia.ru/text/80/014/images/image007_35.gif" width="64" height="41 src=">.

Пример 3. Решить уравнение с параметром

https://pandia.ru/text/80/014/images/image009_29.gif" width="72" height="41 src=">.

4. Ответ: 1) при а= 2, корней нет;

2) при а ¹ 0, а ¹ 2, ;

3) при а= 0 уравнение не имеет смысла.

Пример 4. Решить уравнение с параметром

https://pandia.ru/text/80/014/images/image011_28.gif" width="135" height="45 src=">

https://pandia.ru/text/80/014/images/image013_25.gif" width="175" height="45 src=">

так как х ¹ 0 и а ¹ – 2, уравнение равносильно уравнению

(а +3)х= 2а –1

найдем контрольные значения параметра

а +3= 0 Þ а=– 3.

2. Решим уравнение при а=– 3.

0×х=– 7

при любом х равенство места не имеет

3. Решим уравнение при а ¹ – 3, а+ 3¹ 0.

https://pandia.ru/text/80/014/images/image015_21.gif" width="69" height="41 src="> Û ,

поэтому, чтобы уравнение имело смысл https://pandia.ru/text/80/014/images/image016_21.gif" width="40" height="41 src=">, корней нет;

2) при а ¹ – 2, а ¹ – 3, , .

II. Квадратные уравнения с параметром и уравнения, приводимые к квадратным

В таких уравнениях в качестве «контрольных» берут обычно значения параметра, обращающие в нуль коэффициент при х 2, так как в этом случае уравнение становится линейным, а также значение параметра, обращающие в нуль дискриминант уравнения, так как от значения дискриминанта зависит число действительных корней квадратного уравнения.

Пример 5. Решить уравнение с параметром

(а –1)х 2+2(2а +1)х +(4а +3)= 0

1. Найдем значения параметра, обращающие в нуль коэффициент при х

а– 1=0 Û а= 1

2. Решим уравнение при а= 1

0×х 2+2(2×1+1)х +4×1+3=0 Û 6х +7=0 Û .

3. Найдем значения параметра, обращающие в нуль дискриминант уравнения

D =(2(2а +1))2–4(а –1)(4а +3)=(4а +1)2–(4а –4)(4а +3)=4(5а +4)

4(5а +4)=0 Û .

4. Решим уравнение при , в этом случае уравнение будет иметь один действительный корень

https://pandia.ru/text/80/014/images/image021_15.gif" width="133" height="41"> Û

9х 2+6х +1=0 Û (3х +1)2=0 Û https://pandia.ru/text/80/014/images/image023_15.gif" width="51" height="41 src=">. В этом случае D <0, поэтому уравнение действительных корней не имеет.

6. Решим уравнение при а ¹1, https://pandia.ru/text/80/014/images/image025_12.gif" width="341" height="49 src=">

7. Ответ: 1) при https://pandia.ru/text/80/014/images/image022_14.gif" width="51" height="41 src=">;

2) при а= 1, ;

3) при , действительных корней нет;

4) при и а ¹1, https://pandia.ru/text/80/014/images/image027_10.gif" width="144" height="44 src=">

1. Так как а стоит в знаменателе дроби, то уравнение имеет смысл только при а ¹0. В знаменателе стоят и выражения а2х– 2а и 2–ах , которые тоже должны быть отличны от нуля

а2х– 2а ¹0 Û а (ах –2)¹0 Û а ¹0, ах –2¹0 Û а ¹0, ;

2–ах ¹0 Û https://pandia.ru/text/80/014/images/image028_9.gif" width="41" height="41 src=">.

2. Решим уравнение при а ¹0, https://pandia.ru/text/80/014/images/image029_9.gif" width="169" height="47 src="> Û Û

(1–а )х 2+2х +1+а =0 ...................(*)

3. Найдем значения параметра, обращающие в нуль коэффициент при х 2

1–а =0 Û а =1

4. Решим уравнение (*) при а =1

0×х 2+2х +2=0 Û 2х=– 2 Û х= –1

сразу проверим, не совпадает ли х с https://pandia.ru/text/80/014/images/image032_8.gif" width="72" height="41 src=">, значит, при а =1, х=– 1.