Элементарной работой силы на перемещении (рис. 3.22) называется скалярное произведение силы на элементарное перемещение точки ее приложения:

где a – угол между направлениями векторов и

Так как то можно записать еще одно выражение элементарной работы:

Для элементарной работы можно записать еще несколько выражений:

Из формул элементарной работы следует, что эта величина может быть положительной (угол a острый), отрицательной (угол a тупой) или равна нулю (угол a прямой).

Полная работа сил . Для определения полной работы силы на перемещении от точки M 0 до М разобьем это перемещение на n перемещений, каждое из которых в пределе переходит в элементарное. Тогда работа силы А :

где dA k – работа на k -м элементарном перемещении.

Записанная сумма является интегральной и может быть заменена криволинейным интегралом, взятым вдоль кривой на перемещении M 0 М. Тогда

или

где момент времени t =0 соответствует точке M 0 , а момент времени t – точке М .

Из определения элементарной и полной работы следует:

1) работа равнодействующей силы на каком–либо перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих сил на этом перемещении;

2) работа сил на полном перемещении равна сумме работ этой же силы на составляющих перемещениях, на которые любым образом разбито все перемещение.

Мощность силы. Мощностью силы называют работу за единицу времени:

или с учетом, что

Мощность силы – это величина, равная скалярному произведению силы на скорость точки ее приложения.

Таким образом, при постоянной мощности увеличение скорости ведет к уменьшению силы и наоборот. Единицей измерения мощности является Ватт : 1Вт=1 Дж/с.

Если сила приложена к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, то ее мощность равна

Аналогично определяется и мощность пары сил.

3.3.4.3. Примеры вычисления работы силы

Полная работа силы –

где h – высота, на которую опустилась точка.

Таким образом, работа силы тяжести положительная, когда точка опускается, и отрицательная, когда точка поднимается. Работа силы тяжести не зависит от формы траектории между точками M 0 и M 1 .

Работа линейной силы упругости. Линейной силой упругости называют силу, действующую по закону Гука (рис. 3.24):

где – радиус-вектор, проведенный из точки равновесия, где сила равна нулю, до рассматриваемой точки М ; с – постоянный коэффициент жесткости.

Работа силы на перемещении от точки M 0 до точки M 1 определим по формуле

Выполняя интегрирование, получаем

(3.27)

Рис. 3.25

По формуле (3.27) вычисляют работу линейной силы упругости пружин при перемещении по любому пути из точки M 0 , в которой ее начальная деформация равна в точку M 1 , где деформация соответственно равна В новых обозначениях формула (3.27) принимает вид

Работа силы, приложенной к вращающемуся твердому телу . При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси скорость точки М можно вычислить по формуле Эйлера, см. рис. 3.25:

Тогда элементарную работу силы определим по формуле

Используя свойство смешанного векторного произведения
получим

Так как – момент силы относительно точки О . Учитывая, что – момент силы относительно оси вращения Oz и ωdt =d φ, окончательно получаем:

dA =M z d φ.

Элементарная работа силы, приложенной к какой–либо точке тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна произведению момента силы относительно оси вращения на дифференциал угла поворота тела.

Полная работа:

В частном случае, когда , работу определяют по формуле

где j – угол поворота тела, на котором вычисляют работу силы.

Рис. 3.26

Работа внутренних сил твердого тела . Докажем, что работа внутренних сил твердого тела равна нулю при любом его перемещении. Достаточно доказать, что сумма элементарных работ всех внутренних сил равна нулю. Рассмотрим две любые точки тела M 1 и M 2 (рис. 3.26). Так как внутренние силы есть силы взаимодействия точек тела, то:

Введем единичный вектор направленный по силе Тогда

Сумма элементарных работ сил и равна

Раскрывая скалярные произведения векторов в скобках, получаем

Так как в кинематике доказано, что проекции скоростей любых двух точек твердого тела на направление прямой линии, соединяющей эти точки, равны друг другу при любом движении твердого тела, то в полученном выражении в скобках стоит разность одинаковых величин, т.е. величина, равная нулю.

3.3.4.4. Теорема об изменении кинетической энергии точки

Для материальной точки массой m , движущейся под действием силы основной закон динамики можно представить в виде

Умножая обе части этого соотношения скалярно на дифференциал радиус-вектора точки имеем

или

Учитывая, что – элементарная работа силы,

(3.28)

Формула (3.28) выражает теорему об изменении кинетической энергии для точки в дифференциальной форме.

Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей на точку.

Если обе части равенства (3.28) проинтегрировать от точки M 0 до точки М (см. рис. 3.22), получаем теорему об изменении кинетической энергии точки в конечной форме:

Изменение кинетической энергии точки на каком–либо перемещении равно работе силы, действующей на точку на том же перемещении.

3.4.4.5. Теорема об изменении кинетической энергии системы

Для каждой точки системы можно выразить теорему об изменении кинетической энергии в форме:

Суммируя правые и левые части этих соотношений по всем точкам системы и вынося знак дифференциала за знак суммы, получаем:

или

где – кинетическая энергия системы; – элементарная работа внешних и внутренних сил соответственно.

Формула (3.29) выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме.

Дифференциал от кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему.

Если обе части (3.29) проинтегрировать между двумя положениями системы – начальным и конечным, в которых кинетическая энергия равна T 0 и Т , то, изменяя порядок суммирования и интегрирования, имеем:

или

где – работа внешней силы для точки системы M k при ее перемещении из начального положения в конечное положение M k ; – работа внутренней силы, действующей на точку M k .

Формула (3.30) выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в конечной или интегральной форме.

Изменение кинетической энергии системы при ее перемещении из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему, на соответствующих перемещениях точек системы при том же перемещении системы.

m A = 2m кг, m B =m кг, m C = m кг,
	40 см =0,4 м, r B = 20 см =0,2 м,	R C = 10 см= 0,1 м,
i BZ =	30 см =0,3 м, α = 30 o , β = 60 o ,

Найти: V A , a A , T .

1. Изобразим на схеме механической системы (рис. 26) все внешние силы:

P A , N A , F тр. , P B , N B , P C , N C .

2. Выразим все необходимые линейные и угловые скорости через искомую скорость V A .(рис.26)

ω B = r A = R B ; B B

V B = R B V A ; r B

				PV A
C R V C

ω С = V B = R B V A ; 2 R C r B 2 R C

T 1 положениях.

T 0 = 0 - система находилась в покое;

T 1 = T A + T B + T C ;

Тело А движется поступательно;

TA = 0,5 mA VA 2 = mV 2 A

Тело В совершает вращательное движение вокруг оси OZ, проходящей перпендикулярно плоскости чертежа через точку О.

T B = 0,5 I ZBω B2 ;
где I ZB = m Bi BZ2 = mi BZ2					инерции тела В относительно
			m i2 V 2
				1,125mV 2
			2r 2

Тело С совершает плоско-параллельное движение:

	m V2		J w2
	C C +

где J ZC =

Момент инерции тела С относительно оси, проходя-

щей через центр масс тела С перпендикулярно плоскости чертежа;

w C =

Угловая скорость тела С, т. Р – МЦС тела С.

2 r R

1 mR2 V 2

R2 V 2

3 mR2

0,75mV 2

4 r 2

16r 2

4 r 2 R2

T 1 = mV A 2 + 1,125mV A 2 + 0,75mV A 2 = 2,875mV A 2 .

4.Определим сумму работ всех внешних сил на заданном перемещении s.

AE = A(

)+ A (

)+ A (

)+ A (

)+ A (

)+ A (

)+ A (

∑i

P A ) = m A qS sinβ = 2 m q 0,68S = 1,72 mqS ;

) = −F S = −μ N

S = − μ m

q cos β S = − μ 2mq cos600 S =

= − 0,1 2 0,5mqS = − 0,1mqS

A ) = 0; A (

C ) = 0; cилы

перпендикулярны направлению

перемещения;

B ) = 0;

т.к. точка О неподвижна.

P B ) = 0;

– перемещение центра масс тела С.

P C ) =− m C qS C sinα ;где

Так как перемещения точек изменяются пропорционально их скоростям,

SC = R B S

2r B

			) =− m q				S =− mq		S =− 0,5 mqS
						2r B

∑ A i E = 1,72mqS − 0,1mqS − 0,5mqS = 1,12mqS .

Поскольку значение суммы работ всех внешних сил положительно, фактическое направление скорости V A совпадает с указанным на рис.26.

5. Найдем значение скорости V A из формулы T 1 − T 0 = ∑ A i E

2,875mV A 2 = 1,12mqS

VA =	1,12qS	2,76м / с .

f (x , y , z , t ) = 0 .

6. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

6.1. Связи и их уравнения

Изучение элементов аналитической механики мы начнем с более подробного рассмотрения связей.

Несвободной материальной точкой называется точка, свобода движения которой ограничена. Тела, ограничивающие движение точки, называются связями. Пусть связь представляет собой поверхность некоторого тела, по которой движется точка. Тогда координаты точки должны удовлетворять уравнению этой поверхности, называемому уравнением связи :

f (x i , y i , z i ) = 0 .

Системы различают свободные и несвободные .

Система материальных точек называется свободной, если все входящие в нее точки могут занимать произвольные положения и иметь произвольные скорости. В противном случае система называется несвободной.

6.2. Классификация связей

Связи классифицируются по следующим признакам:

1) стационарные и нестационарные;

2) голономные и неголономные;

3) удерживающие и неудерживающие.

Стационарными называются такие связи, уравнения которых не со-

держат время t в явном виде. Уравнение стационарной связи имеет вид: f (x i , y i , z i ) = 0 .

Связи, которые описываются уравнениями, содержащими время t явно, называются нестационарными. Аналитически они выражаются уравнением

Голономными связями называются связи, не накладывающие ограничения на скорости точек системы. Выше указанные связи являются также и голономными.

Связи, накладывающие ограничения не только на координаты, но и на скорости точек системы, называются неголономными . Их аналитическое выражение в общем случае имеет следующий вид

f (t , x i , y i , z i , x & i , y & i , z & i ) = 0

Механические системы, подчиненные голономным связям, называются голономными системами. Если же в числе связей имеются неголономные, то системы называются неголономными.

Классическим примером движения неголономной системы может служить качение твердого шара по шероховатой поверхности (например, бильярдного шара).

Удерживающими связями называются связи, которые не допускают перемещений, в результате которых точки системы могли бы освободиться от связи.

Примером удерживающей связи является первый пример. Другим примером могут служить две параллельные плоскости, между которыми происходит движение шарика.

Для удерживающей связи уравнение дается равенством вида f (t , x i , y i , z i , x & i , y & i , z & i ) = 0 .

Удерживающие связи иногда называются двухсторонними связями. Связи, допускающие перемещения, в результате которых точки системы

могут освободиться от связи без ее разрушения, называются неудерживающими . Иногда такие связи называют односторонними. Уравнение неудерживающей связи имеет вид неравенства

f (t , x i , y i , z i , x & i , y & i , z & i ) ≤ 0.

Примерами неудерживающих связей являются второй и третий примеры. Другим примером такой связи может служить одна плоскость, по которой движется шар.

6.3. Возможные перемещения системы. Число степеней свободы. Идеальные связи

Представим себе какое-либо несвободное тело, например, куб, лежащий на плоскости. Дадим мысленно этому кубу какое-либо бесконечно малое перемещение. Вообразим, например, что мы немного приподняли его над плоскостью; при таком перемещении связь куба с плоскостью будет нарушена. Но мы можем дать кубу и такое воображаемое бесконечно малое перемещение, которое не нарушит связи; таким перемещением является любое перемещение по плоскости.

Итак, возможными перемещениями несвободной механической системы называются воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в данный момент наложенными на систему связями.

В нашем примере для куба возможным перемещением является всякое воображаемое бесконечно малое перемещение его вдоль плоскости.

Возможные перемещения точек механической системы рассматривают как величины первого порядка малости, пренебрегая при этом величинами высших порядков малости. Поэтому криволинейные перемещения точек за-

меняют прямолинейными отрезками, отложенными по касательным к траекториям точек и обозначают δ r .

Так, например, возможным перемещением рычага АВ является его поворот на бесконечно малый угол δϕ вокруг оси О (рис. 27).

При этом повороте точки А и В должны переместиться по дугам окружностей АА1 и ВВ1 . Но с точностью до величин первого порядка малости эти

перемещения можно заменить возможными перемещениями δ r A = AA ′ и δ r B = BB ′ в виде прямолинейных отрезков, отложенных по касательным к

траекториям точек, а по величине соответственно равных:

δ rA = ОА δϕ и δ rВ = ОВ δϕ .

Действительные перемещения несвободной механической системы dr , которая движется под действием приложенных к ней сил, входят в число ее возможных перемещений и являются их частным случаем. Однако это справедливо лишь для стационарных связей. В случае нестационарных связей действительные перемещения системы не относятся к числу ее возможных перемещений.

В общем случае для точек системы может существовать множество различных возможных перемещений. Однако для каждой системы, в зависимости от характера наложенных на нее связей, можно указать определенное число таких независимых между собой перемещений, что всякое другое возможное перемещение может быть представлено как их геометрическая сумма. Например, шарик, лежащий на какой-нибудь плоскости, можно переместить вдоль этой плоскости по множеству направлений. Однако любое его возможное перемещение δ r можно получить как сумму двух перемещений

δ х и δ r 2 вдоль лежащих в этой плоскости взаимно перпендикулярных осей:

δ r = δ r1 + δ r2 .

Число независимых возможных перемещений механической системы определяет число степеней свободы этой системы.

Так, рассматриваемый выше шарик на плоскости, если его считать материальной точкой, имеет две степени свободы. У рассмотренного выше куба на плоскости 3 степени свободы – два поступательных перемещения вдоль осей координат и одно вращательное вокруг вертикальной оси. Рычаг, закрепленный на оси, имеет одну степень свободы. Свободное твердое тело име-

ет шесть степеней свободы – независимыми перемещениями являются три поступательных перемещения вдоль осей координат и три вращательных вокруг этих осей.

В заключение введем понятие возможной работы сил, приложенных к системе.

δ r i

Вычисляя сумму элементарных работ двух внутренних сил F 1 J и F 2 J ,

получаем

F1 J dS1 cos(P1 J ,υ 1 ) + F2 J dS2 cos(P2 J ,υ 2 ) = F1 ′ M1 M1 ′ − F1 M 2 M 2 ′

т.к. каждой внутренней силе соответствует другая, равная ей по модулю и противоположная по направлению, то сумма элементарных работ всех внутренних сил тоже равна нулю.

δ A J = ∑ δ A i J = 0

Конечное перемещение является совокупностью элементарных переме-

щений, поэтому AJ = 0, т.е. сумма работ внутренних сил твердого тела на любом его перемещении равна нулю.

2.5.2. Работа внешних сил, приложенных к поступательно движущемуся телу

К каждой точке тела приложены внешние и внутренние силы (рис. 18). Так как работа внутренних сил на любом перемещении равна нулю, то следует вычислить работу лишь внешних сил F 1 E , F 2 E … F n E . При поступательном

движении траектории всех точек идентичны, а вектора элементарных перемещений геометрически равны, т.е.

dri = dr = drc .

Элементарная работа силы F i E

δ A iE = F i E dr c .

Элементарная работа всех внешних сил

δ AE = ∑ δ Ai E = ∑ F i E drc = drc ∑ Fi E = R E dr c ,

где R E - главный вектор внешних сил.

Работа на конечном перемещении

AE = ∫ R E drc .

Работа сил при поступательном перемещении твердого тела равна работе главного вектора внешних сил на элементарном перемещении центра масс.

2.5.3. Работа внешних сил, приложенных к вращающемуся телу

Предположим, что к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси Z , приложены внешние силы F 1 E , F 2 E … F i E … F n E (рис. 19).

Вычислим работу одной силы F i E , приложенной к точке M i , описывающей окружность радиуса R i . Разложим силу F i E на три составляющие, направленные по естественным осям траектории точки M i .

E F 1

F ib
F in

Mi dSi

F iτ

Z M1 (x1 ,y1, z1 )

M2 (x2 ,y2 , z2 )

При элементарном повороте тела на угол d ϕ точка M i описывает дугу dS i = R i d ϕ . На этом перемещении работу составляет только касательная составляющая силы, а работа перпендикулярных к вектору скорости составляющих силы F in E и F ib E равна нулю.

δ A i E = F i τ E dS i = F i τ E R i d ϕ = M i E τ d ϕ = M iz E d ϕ , т.к. моменты нормальной и бинормальной составляющих силы F i E относительно оси Z равны нулю эле-

ментарная работа всех сил, приложенных к твердому телу

δ AE = ∑ δ Ai E = ∑ M iz E dϕ = dϕ ∑ Miz E = M z E dϕ .

Таким образом, элементарная работа внешних сил, приложенных к вращающемуся твердому телу равна

δ AE = M z E dϕ .

При конечном повороте тела работа внешних сила равна

AE = ∫ M z E dϕ .

Если главный момент внешних сил M z E = const , то работа внешних сил на конечном перемещении равна A = M z E (ϕ 2 − ϕ 1 ) .

Работа при вращательном движении твердого тела равна работе главного момента внешних сил относительно оси вращения на элементарном угловом перемещении.

2.6. Работа силы тяжести

Пусть точка массой m перемещается под действием силы тяжести из положения M 1 (x 1 , y 1 ,z 1 ) в положение M 2 (x 2 , y 2 ,z 2 ) (рис. 20).

Элементарная работа силы вычисляется как скалярное произведение вектора силы F (X ,Y ,Z ) на вектор элементарного перемещения dr (dx,dy,dz )

δ A = F dr = Xdx + Ydy + Zdz ,

где X ,Y ,Z - проекции силы F ,

dx,dy,dz - проекции вектора перемещения dr на оси x, y,z . При движении под действием силы тяжести

А= ± mgh .

Если точка опускается (независимо от вида траектории), т.е. z 2 < z 1 , работа силы тяжести положительна, если точка поднимается, работа силы тя-

жести отрицательна. Если точка перемещается горизонтально (z 2 = z 1 ) , работа силы тяжести равна 0.

3. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Рассмотрим материальную точку M массой m , движущуюся под дей-

ствием сил

F 2 … F n (рис. 21) со скоростью υ

Модуль которой равен

υ = dS , где S - дуговая координата.

Проекция ускорения на касательную равна a τ =

Учитывая, что скорость υ

Сложная функция времени, т.е. υ = f (S (t )) ,

a τ = d υ

D υ

= υ d υ .

Основное уравнение динамики в проекции на касательную имеет вид

maτ = ∑ Fi τ

υd υ

= ∑ F i τ .

Умножим обе части уравнения на dS и проинтегрируем обе части равенства в пределах, соответствующих начальному и конечному положениям

точки M 1

и M 2

mυ dυ = dS∑ Fi τ

m ∫ υ d υ = ∑ ∫ F i τ dS , откуда

mυ 2

= ∑ A i .

mυ 2

Половина произведения массы материальной точки на квадрат скорости

называется кинетической энергией точки.

mυ 2 2

− кинетическая энергия точки после перемещения,

− кинетическая энергия точки до перемещения,

mυ 2

V i 2

	Практическая работа на тему: «Работа и мощность при вращательном движении» Цель работы: закрепить изучение материал по теме, научиться решать задачи. Ход работы: Изучить материал по теме. Записать краткую теорию. Решить задачи. Оформить работу. Ответить на контрольные вопросы. Написать вывод. Краткая теория: Работа постоянной силы, приложенной к вращающемуся телу Представим себе диск, вращающийся вокруг неподвижной оси под действием постоянной силы F (рис. 6) , точка приложения которой перемещается вместе с диском. Разложим силу F на три взаимно-перпендикулярные составляющие: F 1 – окружная сила, F 2 – осевая сила, F 3 – радиальная сила. При повороте диска на бесконечно малый угол dφ сила F совершит элементарную работу, которая на основании теоремы о работе равнодействующей будет равна сумме работ составляющих. Очевидно, что работа составляющих F 2 и F 3 будет равна нулю, так как векторы этих сил перпендикулярны бесконечно малому перемещению ds точки приложения М , поэтому элементарная работа силы F равна работе ее составляющей F 1 : dW = F 1 ds = F 1 Rdφ . При повороте диска на конечный угол φ работа силы F равна W = ∫ F 1 Rdφ = F 1 R ∫ dφ = F 1 Rφ , где угол φ выражается в радианах. Так как моменты составляющих F 2 и F 3 относительно оси z равны нулю, то на основании момент силы F относительно оси z равен: М z (F) = F 1 R . Момент силы, приложенной к диску, относительно оси вращения называется вращающим моментом, и, согласно стандарту ИСО , обозначается буквой Т : Т = М z (F) , следовательно, W = Tφ . Работа постоянной силы, приложенной к вращающемуся телу, равна произведению вращающего момента на угловое перемещение . Пример решения задачи Задача: рабочий вращает рукоятку лебедки силой F = 200 Н , перпендикулярной радиусу вращения. Найти работу, затраченную в течение времени t = 25 секунд , если длина рукоятки r = 0,4 м , а ее угловая скорость ω = π/3 рад/с . Решение. Прежде всего определим угловое перемещение φ рукоятки лебедки за 25 секунд : φ = ωt = (π/3)×25 = 26,18 рад. W = Tφ = Frφ = 200×0,4×26,18 ≈ 2100 Дж ≈ 2,1 кДж . Мощность силы, приложенной к равномерно вращающемуся телу, равна произведению вращающего момента на угловую скорость . Если работа совершается силой, приложенной к равномерно вращающемуся телу, то мощность в этом случае может быть определена по формуле: P = W/t = Tφ/t или P = Tω . Вариант №1 На двух шнурах одинаковой длины, равной 0,8 м, подвешены два свинцовых шара массами 0,5 и 1 кг. Шары соприкасается между собой. Шар меньшей массы отвели в сторону так, что шнур отклонился на угол α= 60°, и отпустили. На какую высоту поднимутся оба шара после столкновения? Удар считать центральным и неупругим. Определить энергию, израсходованную на деформацию шаров при ударе. Маховик массой 4 кг свободно вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр, с частотой 720 мин-1. Массу маховика можно считать распределенной по его ободу радиусом 40 см. Через 30 с под действием тормозящего мо­мента маховик остановился. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое делает маховик до полной остановки. Тело массой m=1,0 кг падает с высоты h=20 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести на пути h, и мгновенную мощность на высоте h/2. Вариант №2 Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением, где А = 2 рад, В = 32 рад/с, С = -4 рад/с2. Найти среднюю мощность N , развиваемую силами, действующими на маховик при его вращении, до остановки, если момент инерции I = 100 кг·м 2 . Тело массы m вращается на горизонтальной поверхности по окружности радиуса r=100мм. Найти работу силы трения при повороте тела на угол α=30. Коэффициент трения между телом и поверхностью равен k=0,2. Первый шар массой m1 = 2 кг движется со скоростью, величина которой v1 = 3 м/с. Второй шар массой m2 = 8 кг движется со скоростью, величина которой v2 = 1 м/с. Найти скорость v 1 первого шара и скорость v 2 второго шара сразу после удара, если: а) шары движутся навстречу друг другу; б) первый шар догоняет второй. Удар считать центральным и абсолютно упругим. Работа силы на бесконечно малом перемещении , называемая элементарной работой, выражается формулой где - угол между силой F и скоростью v точки ее приложения (рис. 171), или в виде скалярного произведения: где - дифференциал радиуса-вектора точки приложения силы. Выражая это скалярное произведение через проекции векторов F и на координатные оси, получаем аналитическое выражение элементарной работы: где X, Y, Z - проекции силы на координатные оси, - бесконечно малые изменения (дифференциалы) координат точки приложения силы при элементарном перемещении этой точки. Если сила F приложена к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси z, то где - элементарный угол поворота тела вокруг оси. Если к телу, имеющему неподвижную ось вращения приложена пара сил с моментом , то элементарная работа этой пары выражается следующим образом: где - проекция вектора - момента пары на ось . Особый интерес представляет случай, когда сила является функцией координат точки и, кроме того, В этом случае существует такая функция координат , частные производные которой по координатам равны проекциям силы на соответствующие координатные оси, т. е. Такая функция называется силовой, или потенциальной, функцией. Таким образом, если существует силовая функция, то т. е. элементарная работа силы равна полному дифференциалу силовой функции. Ограниченная или неограниченная часть пространства, где проявляется действие силы, имеющей силовую функцию, называется силовым потенциальным полем. Геометрическое место точек силового потенциального поля, в которых силовая функция сохраняет постоянное значение, называется эквипотенциальной поверхностью, или поверхностью уровня. Работа А силы F на конечном пути определяется как предел суммы элементарных работ и выражается в виде криволинейного интеграла, взятого вдоль дуги траектории от точки до точки М: Если произведение а выражается известной функцией дуговой координаты s точки приложения силы, то переменной интегрирования является эта величина s и формула для вычисления работы принимает вид (168) где - значения дуговой координаты, соответствующие положениям и М точки приложения силы, - проекция силы на касательную к траектории этой точки. Если постоянная по модулю сила образует с прямой, по которой движется ее точка приложения, постоянный угол , то В частном случае, когда точка М движется по прямой под действием постоянной силы F, направленной по той же прямой в сторону движения или против движения, то соответственно имеем: где - путь пройденный точкой. Если при вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси момент приложенной к нему силы является функцией угла поворота тела, т. е. Аналогично определяется работа пары сил: Работа силы, имеющей потенциальную функцию, на конечном перемещении выражается разностью значений этой функции в конечной и начальной точках пути: т. е. в этом случае работа силы не зависит от кривой, по которой перемещается точка М, а зависит лишь от начального и конечного ее положений. При изучении движения материальной точки в силовом потенциальном поле весьма большое значение имеет понятие потенциальной энергии. Потенциальная энергия материальной точки представляет собой особый вид энергии, которым обладает точка, находящаяся в силовом потенциальном поле. Потенциальная энергия П равна работе, которую совершила бы сила поля при перемещении точки ее приложения из данного положения М(х, у, z) в положение , принятое за нулевое, т. е. Работа силы на конечном пути через потенциальную энергию выражается так: Если на точку действует несколько сил, то работа равнодействующей этих сил на каком-либо пути равна сумме работ составляющих сил на том же пути. В технической системе единиц работа измеряется в килограмм-метрах . В Международной системе единиц единицей работы является 1 джоуль . Мощность N характеризует быстроту, с которой совершается работа, и в общем случае определяется как производная от работы по времени: т. е. мощность равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости. Если работа А производится равномерно, то мощность определяется так: где - время, в течение которого произведена работа. Таким образом, в этом частном случае мощность численно равна работе, производимой в единицу времени. При вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси : где - главный момент приложенных к телу сил относительно оси вращения, - угловая скорость тела. В технической системе единиц мощность измеряется в или в лошадиных силах, причем В Международной системе единиц единицей мощности является При решении задач на вычисление работы и мощности часто используют коэффициент полезного действия. Коэффициентом полезного действия называется отношение полезной работы или мощности к работе или мощности движущих сил: Так как вследствие вредных сопротивлений , то . При вычислении работы нужно различать следующие случаи. 1. Прямолинейное движение под действием постоянной по модулю и направлению силы, в задачах такого типа применяются формулы (169) и (170) (задачи 756, 762). 2. Прямолинейное движение под действием силы, проекция которой на направление прямолинейной траектории является функцией расстояния точки от некоторого неподвижного центра на этой прямой (задача № 768), в задачах этого типа применяется формула (167), которая, если направить ось по траектории точки, принимает вид 3. Криволинейное движение под действием постоянной по модулю и направлению силы, в этом случав можно использовать формулу (167). 4. Криволинейное движение под действием силы, которая является функцией координат точки приложения силы. Здесь определение работы сводится к вычислению криволинейного интеграла по формуле (167). Если в рассматриваемом случае существует силовая функция, то работу определяют по формуле (173) или (176). 5. Вращательное движение твердого тела под действием постоянного момента или момента, являющегося функцией угла поворота тела; в этом случае для вычисления работы применяется формула (171). Для вычисления мощности в зависимости от характера движения пользуемся формулой (177) при прямолинейном или криволинейном движении точки приложения силы (задачи 760, 764), или формулой (179) - в случае вращательного движения твердого тела (задачи 771, 772, 765). Среднюю мощность можно определять по формуле (178). Пример 131. Вдоль тяги, при помощи которой тянут вагончик по горизонтальному пути, действует постоянная сила (рис. 172). Тяга образует с горизонтом угол . Определить работу, совершенную силой F на пути . Решение. Здесь работу определяем по формуле (169): Пример 132. Тело весом передвигают по горизонтальному полу при помощи горизонтальной силы на расстояние . Определить работу, которую совершит при этом сила трения, если коэффициент трения между поверхностью тела и полом . Решение. Согласно закону Кулона, сила трения , где N - нормальное давление тела на поверхность пола, причем в данном случае . Так как сила трения направлена в сторону, противоположную движению, то работа этой силы отрицательна: Пример 133. Найти работу силы тяжести при перемещении материальной точки из положения в положение М (х, у, z), а также вычислить потенциальную энергию точки в положении М (рис. 173). Решение. Направляя ось z вертикально вверх, имеем: где - вес тела. Следовательно, по формуле (162) (182) т. е. работа силы тяжести равна произведению веса материальной точки на разность ее высот в начальном и конечном положениях, причем эти высоты отсчитываются от произвольно выбранной горизонтальной плоскости. Потенциальную энергию точки определим на основании формулы (175): где С - произвольная постоянная интегрирования. Пример 134. Определить работу силы упругости растянутого стержня, к концу которого подвешен груз М, при перемещении этого груза из положения в положение М, если длина недеформированного стержня равна вычислить также потенциальную энергию точки в положении М (рис. 174). Решение. Обозначив силу упругости F и направив ось х по вертикали вниз, имеем: где х - удлинение стержня, с - его жесткость. Следовательно, Пример 135. На материальную точку действует сила, проекции которой на координатные оси выражаются так: Определить работу этой силы при перемещении точки из положения в положение , если сила выражена в н, а координаты - в см. Решение. Выясним прежде всего, существует ли в данном случае силовая функция: для этого находим частные производные: Отсюда получаем, что т. е. условия (164) выполняются, и силовая функция существует. Полный дифференциал этой функции равен элементарной работе, т. е. . Элементарную работу находим по формуле или, подставляя значения : Это выражение действительно является полным дифференциалом Значения функции в точках и М равны: Следовательно, искомая работа равна Пример 136. Определить работу центральной силы, модуль которой является функцией расстояния материальной точки от центра этой силы, т. е. (рис. 175). Решение. В данном случае единичный вектор силы равен Причем знак выбирается в зависимости от того,отталкивается от центра силы или притягивается к нему точка М. Таким образом, вектор силы F выразится так: Отсюда, пользуясь формулой (161), имеем: Следовательно, т. е. элементарная работа является полным дифференциалом и, значит, существует силовая функция, причем Итак, в данном случае имеем общую формулу, по которой сразу можем определить силовую функцию в зависимости от радиуса-вектора точки приложения силы, а затем вычислить работу силы при перемещении этой точки из положения в положение Пример 137. Один конец пружины закреплен шарнирно в точке О, а к другому концу ее прикреплен шарик Длина нерастянутой пружины - , жесткость . Шарик перемещают из положения в положение , причем пружина растянута и не изгибается. Определить работу силы упругости пружины, если Решение. Модуль силы упругости пружины в данном случае выражается так. Книги. Учебники. Обучение. Наука. Экзамены 2024 © bookraj.ru