Как начертить прямую пересечения плоскостей. Построение линии пересечения двух плоскостей
Прямая в пространстве может быть определена как линия пересечения двух непараллельных плоскостей и, то есть как множество точек, удовлетворяющих системе двух линейных уравнений
(V.5)
Справедливо
и обратное утверждение: система двух
независимых линейных уравнений вида
(V.5)
определяет прямую как линию пересечения
плоскостей (если они не параллельны).
Уравнения системы (V.5)
называются общим
уравнением
прямой
в пространстве
.
Пример V .12 . Составить каноническое уравнение прямой, заданной общими уравнениями плоскостей
Решение . Чтобы написать каноническое уравнение прямой или, что тоже самое, уравнение прямой, проходящей через две данные точки, нужно найти координаты каких-либо двух точек прямой. Ими могут служить точки пересечения прямой с какими-нибудь двумя координатными плоскостями, например Oyz и Oxz .
Точка
пересечения прямой с плоскостью Oyz
имеет абсциссу
.
Поэтому, полагая в данной системе
уравнений
,
получим систему с двумя переменными:
Ее
решение
,
вместе с
определяет точку
искомой прямой. Полагая в данной системе
уравнений
,
получим систему
решение
которой
,
вместе с
определяет точку
пересечения прямой с плоскостьюOxz
.
Теперь
запишем уравнения прямой, проходящей
через точки
и
:
или
,
где
будет направляющим векто-ром этой
прямой.
Пример
V
.13.
Прямая задана
каноническим уравнением
.
Составить общее уравнение этой прямой.
Решение. Каноническое уравнение прямой можно записать в виде системы двух независимых уравнений:
Получили
общее уравнение прямой, которая теперь
задана пересечением двух плоскостей,
одна из которых
параллельна осиOz
(
),
а другая
– осиОу
(
).
Данную прямую можно представить в виде линии пересечения двух других плоскостей, записав ее каноническое уравнение в виде другой пары независимых уравнений:
Замечание . Одна и та же прямая может быть задана различными системами двух линейных уравнений (то есть пересечением различных плоскостей, так как через одну прямую можно провести бесчисленное множество плоскостей), а также различными каноническими уравнениями (в зависимости от выбора точки на прямой и ее направляющего вектора).
Ненулевой вектор, параллельный прямой линии, будем называть ее направляющим вектором .
Пусть
в трехмерном пространстве
задана прямая l
,
проходящая через точку
,
и ее направляющий вектор
.
Любой
вектор
,
где
,
лежащий на прямой, коллинеарен с вектором,
поэтому их координаты пропорциональны,
то есть
. (V.6)
Это уравнение называется каноническим уравнением прямой. В частном случае, когда ﻉ есть плоскость, получаем уравнение прямой на плоскости
. (V.7)
Пример
V
.14.
Найти уравнение прямой, проходящей
через две точки
,
.
,
где
,
,
.
Удобно уравнение (V.6) записать в параметрической форме. Так как координаты направляющих векторов параллельных прямых пропорциональны, то, полагая
,
где
t
– параметр,
.
Расстояние от точки до прямой
Рассмотри
двухмерное евклидовое пространство ﻉ
с
декартовой системой координат. Пусть
точка
ﻉ
и
l
ﻉ.
Найдем расстояние от этой точки до
прямой. Положим
,
и прямая l
задается уравнением
(рис.V.8).
Расстояние
,
вектор
,
где
– нормальный вектор прямой l
,
и
– коллинеарны, поэтому их координаты
пропорциональны, то есть
,
следовательно,
,
.
Отсюда
или умножая эти уравнения
наA
и B
соответственно и складывая их, находим
,
отсюда
.
(V.8)
определяет
расстояние от точки
до прямой
.
Пример
V
.15.
Найти уравнение прямой, проходящей
через точку
перпендикулярно прямойl
:
и найти расстояние от
до прямойl
.
Из
рис. V.8
имеем
,
а нормальный вектор прямойl
.
Из условия перпендикулярности имеем
Так
как
,
то
. (V.9)
Это
и есть уравнение прямой, проходящей
через точку
,перпендикулярно
прямой
.
Пусть
имеем уравнение прямой (V.9),
проходящей через точку
,
перпендикулярна прямойl
:
.
Найдем расстояние от точки
до прямойl
,
используя формулу (V.8).
Для
нахождения искомого расстояния достаточно
найти уравнение прямой, проходящей
через две точки
и точку
,
лежащую на прямой в основании
перпендикуляра. Пусть
,
тогда
Так
как
,
а вектор
,
то
. (V.11)
Поскольку
точка
лежит на прямойl
,
то имеем еще одно равенство
или
Приведем систему к виду, удобному для применения метода Крамера
Ее решение имеет вид
,
. (V.12)
Подставляя (V.12) в (V.10), получаем исходное расстояние.
Пример
V
.16.
В двухмерном пространстве задана точка
и прямая
.
Найти расстояние от точки
до прямой; записать уравнение прямой,
проходящей через точку
перпендикулярно заданной прямой и найти
расстояние от точки
до основания перпендикуляра к исходной
прямой.
По формуле (V.8) имеем
Уравнение
прямой, содержащей перпендикуляр, найдем
как прямую, проходящую через две точки
и
,
воспользовавшись формулой (V.11).
Так как
,
то, с учетом того, что
,
а
,
имеем
.
Для
нахождения координат
имеем систему с учетом того, что точка
лежит на исходной прямой
Следовательно,
,
,
отсюда.
Рассмотрим
трехмерное евклидовое пространство ﻉ.
Пусть точка
ﻉ
и
плоскость ﻉ.
Найдем расстояние от этой точки
до плоскости,
заданной уравнением
(рис.V.9).
Аналогично
двухмерному пространству имеем
и вектор
,
а,
отсюда
. (V.13)
Уравнение
прямой, содержащей перпендикуляр к
плоскости ,
запишем как уравнение прямой, проходящей
через две точки
и
,
лежащую в плоскости:
. (V.14)
Для
нахождения координат точки
к двум любым равенствам формулы (V.14)
добавим уравнение
Решая
систему трех уравнений (V.14),
(V.15),
найдем
,,– координаты точки
.
Тогда уравнение перпендикуляра запишется
в виде
.
Для
нахождения расстояния от точки
до плоскости
вместо формулой (V.13)
воспользуемся
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра технической механики
ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
ПОВЕРХНОСТЕЙ
Учебнометодическое пособие к решению домашнего задания № 3
для бакалавров всех специальностей
Стерлитамак 2011
Перед работой с методическими указаниями бакалавр обязан изучить материал по рекомендуемой литературе
Составители Валитова Э.Г., ст.преподаватель
Рецензент Иванов С.П., доц., канд. техн. наук
© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2011
Методические указания предназначены для бакалавров всех специальностей при изучении темы "Взаимное пересечение поверхностей" и выполнении домашнего графического задания по этой теме.
Перед работой с методическими указаниями бакалавр обязан изучить материал по рекомендуемой литературе.
1.1 Целью задания является изучение способов построения линии пересечения поверхностей.
а) построить проекции линий пересечения заданных поверхностей способом плоскостейпосредников (формат A3);
б) построить проекции линий пересечения поверхностей способом сферических посредников (формат A3);
в) отметить характерные точки линий пересечения.
Варианты индивидуальных заданий приведены в приложении.
2 МЕТОДИКА И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ
2.1 Произвести разметку (компоновку) формата, предусматривая рациональное использование поля чертежа.
2.2 Вычертить в тонких линиях карандашом исходные данные задачи, вспомогательные линии построения, найденную линию пересечения поверхностей.
2.3 Заполнить основную надпись (содержание и размеры приведены на рис.1)
Рис. 1. Основная надпись
2.4 Работа, выполненная в тонких линиях, должка быть представлена на проверку преподавателю.
2.5 После проверки произвести обводку чертежа, исходя из следующих требований:
2.5.1 Данные элементы выполняются черным цветом карандашом, тушью или пастой сплошной основной линией (S1 мм).
2.5.2 Линии проекционной связи и оси проекций выполняются черным цветом сплошной тонкой линией карандашом, тушью или пастой (S0,5 мм).
2.5.3 Линии вспомогательных построений, выполняются зеленым или синим цветом сплошной тонкой линией (S0,5 мм) также карандашом, тушью или пастой.
2.5.4 Искомые элементы выполняются сплошной основной линией красного цвета (карандаш, тушь, паста, фломастер,S1 мм),Sтолщина линии.
2.6 Представить работу для защиты. Защита работы фиксируется подписью преподавателя в графе «Принял» и сопровождается соответствующей оценкой, проставляемой в виде дроби: числитель оценка за глубину изучения темы, знаменательоценка за качество графического исполнения чертежа.
3 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Линия пересечения поверхностей это кривая, состоящая из точек, принадлежащих обеим поверхностям. Она представляет собой в общем случае пространственную кривую, которая может распадаться на две и более части. Эти части могут быть, в частности, и плоскими кривыми. Обычно линию пересечения строят по ее отдельным точкам.
Общим способом построения этих точек является способ поверхностей посредников. Пересекая данные поверхности некоторой вспомогательной поверхностью и определяя линии пересечения ее с данными поверхностями, в пересечении этих линий получим точки, принадлежащие искомой линии пересечения.
Наиболее часто в качестве поверхностейпосредников применяют плоскости или сферы, в зависимости от чего различают следующие способы построения точек линии пересечения двух поверхностей:
а) способ вспомогательных плоскостей;
б) способ вспомогательных сфер.
Применение того или иного способа построения линии пересечения поверхностей зависит как от типа данных поверхностей, так и от их взаимного расположения.
4 СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ
При нахождении точек линии пересечения поверхностей необходимо соблюдать определенную последовательность. У линии пересечения различают точки опорные (характерные) и промежуточные (случайные). В первую очередь определяют опорные точки, т.к. они позволяют видеть, в каких пределах расположены проекции линии пересечения и где необходимо изменять положение вспомогательных поверхностейпосредников.
К опорным точкам относят точки, лежащие на очерках поверхностей, высшие и низшие точки, ближайшие к наблюдателю и наиболее удаленные от него, крайние левые и правые.
Способ вспомогательных плоскостей следует применять тогда, когда обе пересекающиеся поверхности возможно пересечь по графически простым линиям (окружностям или прямым) некоторой совокупностью проецирующих плоскостей (или, в частном случае, совокупностью плоскостей уровня).
На рис. 2 показано построение линии пересечения горизонтально проецирующего цилиндра с конусом вращения. Опорные точки 1 и 2 определены при пересечении главных меридианов обеих поверхностей, находящихся в плоскости симметрии. Случайные точки 3, 3 1 4, 4 1 находят с помощью горизонтальных плоскостей уровняS 1 иS 2 , пересекающих обе поверхности по окружности. Фронтальная проекция линии пересечения строится по законам проекционной связи.
На рис. 3 построена линия пересечения конуса вращения со сферой. Опорные точки линии пересечения 1 и 2 определяются сразу, как и в предыдущем случае, при пересечении очерковых образующих (главных меридианов). Случайные точки 5, 5 1 находят с помощью горизонтальной плоскости уровняS 3 . Точки видимости 4 и 4 1 определяет плоскостьS 1 , пересекающая сферу по экватору. Точки 4 и 4 1 разделяют горизонтальную проекцию линии пересечения на видимую и невидимую части. Для построения двух крайних левых точек 3 и 3 1 необходимо из точки 0 (0 / , 0) пересеченияосей конуса и шара опустить перпендикуляр на образующую конуса и через точку К / провести плоскостьS 2 .
В пересечении соответствующих окружностей получаются точки 3 и 3 1 крайние левые. Проведя ряд вспомогательных плоскостей, можно получить какое угодно количество случайных точек, уточняющих форму линии пересечения.
Рис. 2. Построение линии пересечения цилиндра и конуса
Рис. 3. Построение линии пересечения конуса и сферы
5 СПОСОБ СФЕРИЧЕСКИХ ПОСРЕДНИКОВ
Сферические посредники нашли широкое применение в решении задач на взаимное пересечение поверхностей. Обуславливается это тем, что:
а) проекции сферы строятся чрезвычайно просто;
б) на сфере может быть взято бесчисленное множество семейств окружностей;
в) любая плоскость, проходящая через центр сферы, является плоскостью ее симметрии,
В основе метода сферических посредников лежит следующая теорема: "Две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, число которых равно числу точек пересечения их главных меридианов". Пусть заданы две соосные поверхности вращенияФ и ψрис, 4), их главные меридианы а / и b / . Общие точки этих меридианов 2. и 1 образуют при вращении окружности, которые являются общими для данных поверхностей. Эти окружности проецируются на фронтальную плоскость проекций в виде прямых, перпендикулярных к оси вращения, а на горизонтальную плоскостьв натуральную величину. Любое другое поясное сечение, например, плоскостью S, даст две окружности разных диаметров.
В способе сферических посредников в качестве одной из соосных поверхностей берутся сферы, а в качестве второйлюбая поверхность вращения, например, конус, цилиндр, шар, эллипсоид и гиперболоид вращения и др.
Рис. 4. Соосные поверхности
В этом случае указанная теорема получает следующую формулировку: "Если центр секущей сферы находится на оси поверхности вращения, то сфера пересекает данную поверхность по окружности" (рис.5).
Рис. 5. Сфера, соосная поверхностям вращения
Во всех случаях сфера пересекается с поверхностью вращения по окружностям равных или разных диаметров, которые проецируются в прямые линии, перпендикулярные к оси поверхности вращения. Способ сферических посредников имеет две разновидности:
а) способ концентрических сфер, когда сферыпосредники строятся из одного и того же центра;
б) способ эксцентрических сфер, когда посредники строятся из различных центров.
Для решения задач первым способом необходимы следующие условия:
l) обе заданные поверхности должны быть поверхностями вращения;
2) оси обеих поверхностей должны пересекаться между собой и лежать в общей плоскости симметрии.
Для решения задач вторым способом (эксцентрических сфер) условия несколько иные, а именно:
1) одна из пересекающихся поверхностей должна быть поверхностью вращения, а втораянести на себе семейство круговых сечений;
2) обе поверхности должны иметь общую плоскость симметрии, на которую круговые сечения проецируются в виде прямых линий.
На рис.6 показано определение линии пересечения двух поверхностей вращения (конуса и цилиндра) способом концентрических сфер. План решения задачи следующий:
1) принимают точку пересечения осей поверхностей 0 (0 / , 0) за центр, проводят вспомогательные сферыпосредники;
2) определяют окружности пересечения сферпосредников с каждой из заданных поверхностей в отдельности;
3) находят точки пересечения полученных окружностей, эти точки принадлежат искомой линии пересечения поверхностей.
Начинают
построение с определения опорных точек
точек пересечения
очерковых образующих 1 и 2. Далее определяют
значение радиуса
наибольшей и наименьшей сферыпосредника;
R
макс
равен расстоянию от центра 0 до
наиболее удаленней точки пересечения
очерковых образующих, Для определения
радиуса наименьшей сферыпосредника
R
мин.
из центра 0
/
опускают нормали 0
/ К
/
и 0 / Т
/
на очерковые образующие обеих
поверхностей. Величина большей
из нормалей и является радиусом наименьшей
сферыпосредника.
Эта наименьшая вспомогательная сфера
даёт еще одну опорную точкуточку 5, которая является точкой крайнегопрогиба, вершиной
кривой линии пересечения. Остальные
точки строятся с помощью промежуточных
сфер, радиус которых берется в пределах
R мин Рис. 6. Построение
линии пересечения с помощью концентрических
сфер Рис. 7. Построение
линии пересечения с помощью эксцентрических
сфер На рис.7 построена
линия пересечения конуса, ось которого
перпендикулярна горизонтальной
плоскости, и четверти тора, ось вращения
которого перпендикулярна фронтальной
плоскости проекций. Для решения
использовался способ эксцентрических
сферпосредников.
Решение задачи начинают с определения
точек пересечения очерковых образующих
обеих поверхностей. Точки 1,2,3.определяются
непосредственно с чертежа фронтальной
проекции, а точка 4 пересечения оснований
поверхностей найдена на горизонтальной
проекции. Для построения промежуточных
точек линии пересечения рассекают
торовую поверхность плоскостями,
проходящими через ось тора. В сечении
получают окружности. Например, плоскостьS 1 пересекает тор
по окружности диаметраа
/
b
/ .
Из
центра этой окружности точки
К / восстанавливают перпендикуляр до
пересечения с осью конуса в точке 0 / 1 .
Принимая эту точку за центр, строят
вспомогательную сферупосредник
радиусом 0 / 1
а
/
(0 / 1
b
/).
Эта сфера пересекает тор по известной
уже окружностиа
/
b
/ ,а конуспо окружности
8 / 9 / . Взаимное
их пересечение дает точку 5 линии
пересечения. Аналогично с помощью
плоскостейS 2 иS 3
найдены точки 6 и 7. Приложение ЛИТЕРАТУРА 1. Нартова Л.Г.
Начертательная геометрия: Учеб. М.: Академия, 2011. 2. Гордон В.О.
Начертательная геометрия. – М.: Высш.
шк., 2002. 3. Гордон В.О. Сборник
задач по курсу начертательной геометрии.
– М.: Высш. шк., 2003. 4. Дегтярев В.М.
Инженерная и компьютерная графика:
Учеб. М.: Академия,
2011. 5. Потёмкин А.
Инженерная графика. М.: Высш. шк., 2002. 2. Методика и порядок
выполнения задания. . . . . . . 1 3. Общие сведения.
. . . . . . . . . . . . . . . . .
2 4. Способ вспомогательных
плоскостей частного положения 3 5.
Способ сферических посредников.
. . . . . . . . . . 5 Литература. . . . . . . . . . . . . . . . .
.. . . 10 Приложение. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 12 Одной
из основополагающих задач начертательной
геометрии является задача на на построение
линии пересечения двух плоскостей
общего положения. Случаи задания
плоскостей бывают разные, но в любом
случае вам встретится задача, в которой
будет необходимо построить линию
пересечения двух плоскостей заданных
треугольниками (или другими плоскими
геометрическими фигурами). Алгоритм
решения такой задачи я и предлагаю
рассмотреть сейчас. Итак,
даны две плоскости, заданные треугольниками
АВС и DEF. Метод сводится к тому, что бы
поочередно найти две точки пересечения
двух ребер одного треугольника с
плоскостью другого. Соединив эти точки
мы получим линию пересечения двух
плоскостей. Построение точки пересечения
прямой с плоскостью более подробно было
рассмотрено в предыдущем уроке, напомню
только механические действия: Заключим прямую АС во фронтально-проецирующую
плоскость и перенесем по линиям связи
на горизонтальную проекцию точки
пересечения этой плоскости с прямыми
DE и DF - точки 1 и 2 На горизонтальной проекции соединим
проекции точек 1 и 2 и найдем точку
пересечения получившейся линии с
горизонтальной проекцией той прямой,
которую мы заключали во фронтально-проецирующую
плоскость, в этом случае - с прямой AC. Мы
получили точку M. Заключим прямую BС во фронтально-проецирующую
плоскость и перенесем по линиям связи
на горизонтальную проекцию точки
пересечения этой плоскости с прямыми
EF и DF - точки 3 и 4 Соединим
их горизонтальные проекции и получим
точку пересечения этой прямой с прямой
ВС - точку N. Соединив точки M и N мы получим линию
пересечения плоскостей заданных
треугольниками. По сути линия пересечения
уже найдена. - Осталось лишь определить
видимость ребер треугольников. Это
делается методом конкурирующих точек. При
помощи наиболее внимательных посетителей
сайта удалось найти неточность при
определении видимости плоскостей. Ниже
приведен чертеж, на котором исправлена
видимость линий, ограничивающих плоскости
на горизонтальной плоскости МЕТОД
ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ Изменение
взаимного положения изучаемого объекта
и плоскостей проекций достигается путем
замены одной из плоскостей П
1
или П
2
новой
плоскостями П
4
(рис. 148
). Новая
плоскость всегда выбирается перпендикулярно
оставшейся плоскости проекций. Для
решения некоторых задач может потребоваться
двойная замены плоскостей проекций
(рис. 149
).
Последовательный переход от одной
системы плоскостей проекций к другой
необходимо осуществлять, выполняя
следующее правило:
расстояние
от новой проекции точки до новой
оси должно равняться расстоянию от
заменяемой проекции точки до заменяемой оси.
Задача
1
:
Определить натуральную величину
отрезка АВ
прямой
общего положений (рис. 148
).
Из свойства параллельного проецирования
известно, что отрезок проецируется на
плоскость в натуральную величину, если
он параллелен этой плоскости. Выберем
новую плоскость проекций П
4
,
параллельно отрезку АВ
и
перпендикулярно плоскости П
1
.
Введением новой плоскости, переходим
из системы плоскостей П
1
П
2
в
систему П
1
П
4
,
причем в новой системе плоскостей
проекция отрезка А
4
В
4
будет
натуральной величиной отрезка АВ
. Построение точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью
сводится к построению второй проекции точки на эпюре, так как одна проекция точки всегда лежит на следе проецирующей плоскости, потому что все, что находится в проецирующей плоскости, проецируется на один из следов плоскости. На рис. 224, а
показано построение точки пересечения прямой EF
с фронтально-проецирующей плоскостью треугольника ABC
(перпендикулярной плоскости V)
На плоскость V
треугольник ABC
проецируется в отрезок а"с"
прямой линии, и точка к"
будет также лежать на этой прямой и находиться в точке пересечения e"f
с а"с".
Горизонтальную проекцию строят с помощью линии проекционной связи. Видимость прямой относительно плоскости треугольника АВС
определяют по взаимному расположению проекций треугольника ABC
и прямой EF
на плоскости V.
Направление взгляда на рис. 224, а
указано стрелкой. Тот участок прямой, фронтальная проекция которого находится выше проекции треугольника, будет видимым. Левее точки к"
проекция прямой находится над проекцией треугольника, следовательно, на плоскости Н
этот участок видимый. На рис. 224, б
прямая EF
пересекает горизонтальную плоскость Р.
Фронтальная проекция к"
точки К
- точки пересечения прямой EF
с плоскостью Р - будет находиться в точке пересечения проекции е"f
"со следом плоскости P v ,
так как горизонтальная плоскость является фронтально-проецирующей плоскостью. Горизонтальную проекцию k
точки К
находят с помощью линии проекционной связи. Построение линии пересечения двух плоскостей
сводится к нахождению двух точек, общих для этих двух плоскостей. Для построения линии пересечения этого достаточно, так как линия пересечения - прямая, а прямая задается двумя точками. При пересечении проецирующей плоскости с плоскостью общего положения одна из проекций линии пересечения совпадает со следом плоскости, находящимся в той плоскости проекций, к которой перпендикулярна проецирующая плоскость. На рис. 225, а
фронтальная проекция т"п"
линии пересечения MN
совпадает со следом P v
фронтально-проецирующей плоскости Р,
а на рис. 225, б
горизонтальная проекция kl
совпадает со следом горизонтально-проецирующей плоскости R.
Другие проекции линии пересечения строятся с помощью линий проекционной связи. Построение точки пересечения прямой с плоскостью общего положения
(рис. 226, а)
выполняют с помощью вспомогательной проецирующей плоскости R,
которую проводят через данную прямую EF.
Строят линию пересечения 12
вспомогательной плоскости R
. с заданной плоскостью треугольника ABC,
получают в плоскости R
две прямые: EF
- заданная прямая и 12
- построенная линия пересечения, которые пересекаются в точке K
. Нахождение проекций точки К
показано на рис. 226, б. Построения выполняют в следующей последовательности. Через прямую EF
проводят вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость R.
Ее след Rн
совпадает с горизонтальной проекцией ef
прямой EF.
Строят фронтальную проекцию 1׳2"
линии пересечения 12
плоскости R
с заданной плоскостью треугольника ABC
с помощью линий проекционной связи, так как горизонтальная проекция линии пересечения известна. Она совпадает с горизонтальным следом R H
плоскости R.
Определяют фронтальную проекцию к"
искомой точки К,
которая находится в пересечении фронтальной проекции данной прямой с проекцией 1"2"
линии пересечения. Горизонтальная проекция точки строится с помощью линии проекционной связи. Видимость прямой относительно плоскости треугольника ABC
определяется способом конкурирующих точек. Для определения видимости прямой на фронтальной плоскости проекций (рис. 226, б)
сравним координаты Y
точек 3
и 4,
фронтальные проекции которых совпадают. Координата Y
точки 3,
лежащей на прямой ВС,
меньше координаты Y
точки 4,
лежащей на прямой EF.
Следовательно, точка 4
находится ближе к наблюдателю (направление взгляда указано стрелкой) и проекция прямой изображается на плоскости V
видимой. Прямая проходит перед треугольником. Левее точки К׳
прямая закрыта плоскостью треугольника ABC.
Видимость на горизонтальной плоскости проекций показывают, сравнив координаты Z точек 1
и 5.
Так как Z 1 >
Z 5 , точка 1
видимая. Следовательно, правее точки 1
(до точки К)
прямая EF
невидимая. Для построения линии пересечения двух плоскостей общего положения применяют вспомогательные секущие плоскости. Это показано на рис. 227, а. Одна плоскость задана треугольником ABC,
другая - параллельными прямыми EF
и MN.
Заданные плоскости (рис. 227, а)
пересекают третьей вспомогательной плоскостью. Для простоты построений в качестве вспомогательных плоскостей берут горизонтальные или фронтальные плоскости. В данном случае вспомогательная плоскость R
является горизонтальной плоскостью. Она пересекает заданные плоскости по прямым линиям 12
и 34,
которые в пересечении дают точку К
, принадлежащую всем трем плоскостям, а следовательно, и двум заданным, т. е. лежащую на линии пересечения заданных плоскостей. Вторую точку находят с помощью второй вспомогательной плоскости Q
. Найденные две точки К
и L
определяют линию пересечения двух плоскостей. На рис. 227, б
вспомогательная плоскость R
задана фронтальным следом. Фронтальные проекции линий пересечения 1"2"
и 3"4"
плоскости R
с заданными плоскостями совпадают с фронтальным следом R v
плоскости R,
так как плоскость R
перпендикулярна плоскости V,
и все, что в ней находится (в том числе и линии пересечения) проецируется на ее фронтальный след R v .
Горизонтальные проекции этих линий построены с помощью линий проекционной связи, проведенных от фронтальных проекций точек 1", 2", 3", 4"
до пересечения с горизонтальными проекциями соответствующих прямых в точках 1, 2, 3, 4.
Построенные горизонтальные проекции линий пересечения продлевают до пересечения друг с другом в точке k,
которая является горизонтальной проекцией точки K
, принадлежащей линии пересечения двух плоскостей. Фронтальная проекция этой точки находится на следе R v .
В задаче необходимо найти линию пересечения двух плоскостей и определить натуральную величину одной из них
методом плоскопараллельного перемещения. Для решения такой классической задачи по начертательной геометрии необходимо знать следующий теоретический материал: — нанесение проекций точек пространства на комплексный чертеж по заданным координатам;
— способы задания плоскости на комплексном чертеже, плоскости общего и частного положения;
— главные линии плоскости;
— определение точки пересечения прямой линии с плоскостью (нахождение «точки встречи»
);
— метод плоскопараллельного перемещения для определения натуральной величины плоской фигуры;
— определение видимости на чертеже прямых линий и плоскостей с помощью конкурирующих точек.
Порядок решения Задачи
1.
Согласно варианту Задания по координатам точек наносим на комплексный чертеж две плоскости, заданные в виде треугольников ABC
(A’, B’, C’; A, B, C) и DKE
(D’, K’, E’; D, K, Е) (рис.1.1
). Рис.1.1
2
. Для нахождения линии пересечения воспользуемся методом проецирующей плоскости
. Суть его в том, что берется одна сторона (линия) первой плоскости (треугольника) и заключается в проецирующую плоскость. Определяется точка пересечения этой линии с плоскостью второго треугольника. Повторив эту задачу еще раз, но для прямой второго треугольника и плоскости первого треугольника, определим вторую точку пересечения. Так как полученные точки одновременно принадлежат обеим плоскостям, они должны находиться на линии пересечения этих плоскостей. Соединив эти точки прямой, будем иметь искомую линию пересечения плоскостей. 3.
Задача решается следующим образом: а)
заключаем в проецирующую плоскость Ф(Ф’)
сторону AB
(A
’
B
’)
первого треугольника во фронтальной плоскости проекций V
. Отмечаем точки пересечения проецирующей плоскости со сторонами DK
и DE
второго треугольника, получая точки 1(1’) и 2 (2’)
. Переносим их по линиям связи на горизонтальную плоскость проекций H
на соответствующие стороны треугольника, точка 1
(1)
на стороне DE
и точка 2(2)
на стороне DK
. Рис.1.2
б)
соединив проекции точек 1 и 2
, будем иметь проекцию проецирующей плоскости Ф
. Тогда точка пересечения прямой АВ
с плоскостью треугольника DKE определится (согласно правилу) вместе пересечения проекции проецирующей плоскости 1-2
и одноименной проекции прямой AB
. Таким образом, получили горизонтальную проекцию первой точки пересечения плоскостей – M
, по которой определяем (проецируем по линиям связи) её фронтальную проекцию – M
’
на прямой A
’
B
’
(рис.1.2.а
); в)
аналогичным путем находим вторую точку. Заключаем в проецирующую плоскость Г(Г)
сторону второго треугольника DK
(DK
)
. Отмечаем точки пересечения проецирующей плоскости со сторонами первого треугольника AC
и
BC
во горизонтальной проекции, получая проекции точек 3 и 4
. Проецируем их на соответствующие стороны в фронтальной плоскости, получаем 3’
и 4’
. Соединив их прямой, имеем проекцию проецирующей плоскости. Тогда вторая точка пересечения плоскостей будет в месте пересечения линии 3’-4’
со стороной треугольника D
’
K
’
, которую заключали в проецирующую плоскость. Таким образом, получили фронтальную проекцию второй точки пересечения – N
’
, по линии связи находим горизонтальную проекцию – N
(рис.1.2.б
). г)
соединив полученные точки MN
(MN
)
и (M
’
N
’)
на горизонтальной и фронтальной плоскостях, имеем искомую линию пересечения заданных плоскостей. 4.
С помощью конкурирующих точек определяем видимость плоскостей. Возьмем пару конкурирующих точек, например, 1’=5’
во фронтальной проекции. Спроецируем их на соответствующие стороны в горизонтальную плоскость, получим 1
и 5
. Видим, что точка 1
, лежащая на стороне D
Е
имеет большую координату до оси x
, чем точка 5
, лежащая на стороне A
В
. Следовательно, согласно правилу, большей координаты, точка 1
и сторона треугольника D
’Е
’ во фронтальной плоскости будут видимые. Таким образом, определяется видимость каждой стороны треугольника в горизонтальной и фронтальной плоскостях. Видимые линии на чертежах проводятся сплошной контурной линией, а не видимые — штриховой линией. Напомним, что в точках пересечения плоскостей (M
—
N
и
M
’-
N
’
) будет происходить смена видимости. Рис.1.3
Р
ис.1.
4
. На эпюре дополнительно показано определение видимости в горизонтальной плоскости с использованием конкурирующих точек 3
и 6
на прямых DK
и АВ
. 5.
Методом плоскопараллельного перемещения определяем натуральную величину плоскости треугольника ABC
, для чего: а)
в указанной плоскости через точку С(С)
проводим фронталь C
—
F
(С-
F
и
C
’-
F
’)
; б)
на свободном поле чертежа во горизонтальной проекции берем (отмечаем) произвольную точку С 1
, считая, что это одна из вершин треугольника (конкретно вершина C
). Из нее восстанавливаем перпендикуляр к фронтальной плоскости (через ось х
); Рис.1.5
в)
плоскопараллельным перемещением переводим горизонтальную проекцию треугольника ABC
, в новое положение A
1
B
1
C
1
таким образом, чтобы в фронтальной проекции он занял проецирующее положение (преобразовался в прямую линию). Для этого: на перпендикуляре от точки С 1
, откладываем фронтальную проекцию горизонтали C
1
—
F
1
(длина l CF
) получаем точку F
1
. Раствором циркуля из точки F 1
величиною F-A
делаем дуговую засечку, а из точки C
1
— засечку величиной CA
, тогда в пересечении дуговых линий получаем точку A
1
(вторая вершина треугольника); — аналогично получаем точку B
1
(из точки C
1
делаем засечку величиной C
—
B
(57мм), а из точки F
1
величиной F
—
B
(90мм).Заметим, что при правильном решении три точки A
1
F
’ 1
и B
’ 1
должны лежать на одной прямой (сторона треугольника A
1
—
B
1
)две другие стороны С
1
—
A
1
и C
1
—
B
1
получаются путем соединения их вершин; г)
из метода вращения следует, что при перемещении или вращении точки в какой-то плоскости проекций — на сопряженной плоскости проекция этой точки должна двигаться по прямой линии, в нашем конкретном случае по прямой параллельной оси х
. Тогда проводим из точек A
’
B
’
C
’
фронтальной проекции эти прямые (их называют плоскостями вращения точек), а из фронтальных проекций перемещенных точек A
1
В 1
C
1
восстановим перпендикуляры (линии связи) (рис.1.6
). Рис.1.6
Пересечения указанных линий с соответствующими перпендикулярами дает новые положения фронтальной проекции треугольника ABC
, конкретно A
’
1
В’ 1
C
’ 1
который должен стать проецирующим (прямой линией), поскольку горизонталь h
1
мы провели перпендикулярно фронтальной плоскости проекций (рис.1.6
); 5)
тогда для получения натуральной величины треугольника достаточно его фронтальную проекцию развернуть до параллельности с горизонтальной плоскостью. Разворот осуществляем с помощью циркуля через точку А’ 1
, считая ее как центр вращения, ставим треугольник A
’
1
В’ 1
C
’ 1
параллельно оси х
, получаем A
’
2
В’ 2
C
’ 2
. Как было сказано выше, при вращении точки, на сопряженной (теперь на горизонтальной) проекции они двигаются по прямым параллельным оси х
. Опуская перпендикуляры (линии связи) из фронтальных проекций точек A
’
2
В’ 2
C
’ 2
пересечения их с соответствующими линиями находим горизонтальную проекцию треугольника ABC
(A
2
В 2
C
2
)
в натуральную величину (рис.1.7
). Рис. 1.7
Цена 55 руб
, чертежи по начертательной геометрии из книжки Фролова Вы легко можете скачать сразу после оплаты или я вышлю Вам на почту. Они находятся в ZIP архиве в различных форматах:17. Метод замены плоскостей проекций.
У меня есть все готовые решения задач с такими координатами, купить можно
*.jpg
– обычный цветной рисунок чертежа в масштабе 1 к 1 в хорошем разрешении 300 dpi;
*.cdw
– формат программы Компас 12 и выше или версии LT;
*.dwg и.dxf
— формат программы AUTOCAD, nanoCAD;